4佐賀大学 2013年 数学 第4問解答・解説

関数 $f(x)=xe^{-2x}$ とおく。微分すると $$f'(x)=(1-2x)e^{-2x},\qquad f''(x)=4(x-1)e^{-2x}.$$

(1) 概形 $e^{-2x}>0$ だから、$f'(x)$ の符号は $1-2x$ の符号と一致する。したがって $\displaystyle x<\frac12$ で増加し、$\displaystyle x>\frac12$ で減少する。極大点は $$\displaystyle \left(\frac12,f\!\left(\frac12\right)\right)=\left(\frac12,\frac1{2e}\right).$$ また $f(0)=0$ で、$x<0$ では $f(x)<0$、$x>0$ では $f(x)>0$。$f''(x)$ の符号より $x<1$ で上に凸、$x>1$ で下に凸となり、変曲点は $(1,e^{-2})$。問題文で許される極限から $x\to+\infty$ で $f(x)\to0$（正側から）であり、$x\to-\infty$ では $xe^{-2x}\to-\infty$。これらから概形は次のようになる。

(2) 傾きが最小の接線 点 $x=t$ における接線の傾きは $g(t)=f'(t)$ であり、 $$g'(t)=f''(t)=4(t-1)e^{-2t}.$$ よって $g$ は $t<1$ で減少し、$t>1$ で増加するので、最小値は $t=1$ でとる。したがって $a=1$、接点は $(1,e^{-2})$、接線 $\ell$ は $$y-e^{-2}=-e^{-2}(x-1), \qquad \boxed{\ell:\ y=e^{-2}(2-x)}.$$

(3) 接線が曲線より上にあること $\varphi(x)=f(x)-e^{-2}(2-x)$ とおくと $\varphi(1)=0$。また $$\varphi'(x)=f'(x)-f'(1)=g(x)-g(1).$$ (2)より $g$ は $x<1$ で減少するので、$x<1$ では $\varphi'(x)>0$。ゆえに $\varphi$ は増加し、$x<1$ なら $$\varphi(x)<\varphi(1)=0,$$ すなわち $\ell(x)>f(x)$ である。

(4) 面積 領域は $0\le x\le1$ で上側が $\ell$、下側が $f$ となるので $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^1\{e^{-2}(2-x)-xe^{-2x}\}\,dx\\ &=\frac32e^{-2}-\left(\frac14-\frac34e^{-2}\right)\\ &=\boxed{\frac{9}{4e^2}-\frac14} =\boxed{\frac{9-e^2}{4e^2}}. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \int_0^1xe^{-2x}\,dx=\left[-\left(\frac{x}{2}+\frac14\right)e^{-2x}\right]_0^1=\frac14-\frac{3}{4e^2}$ を用いた。

一階・二階導関数で増減と凹凸を調べる。傾き関数の最小点で接線を定め、導関数の比較で接線の位置を示し、その間の差を積分する。