2佐賀大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$y=x^\alpha\ (x>0)$ を対数微分すると $y'=\alpha x^{\alpha-1}$。点 $P(p,p^\alpha)$ における接線は $$y-p^\alpha=\alpha p^{\alpha-1}(x-p).$$ (1) $x=0$ を代入すると $y_Q=(1-\alpha)p^\alpha$。

(2) $R=(r,0)$, $r<p$ とおくと $$PQ^2=p^2+\alpha^2p^{2\alpha},\qquad PR^2=(p-r)^2+p^{2\alpha}.$$ $PR=PQ$ から $(p-r)^2=p^2+(\alpha^2-1)p^{2\alpha}$。右辺正かつ $p-r>0$ なので $$x_R=r=p-\sqrt{p^2+(\alpha^2-1)p^{2\alpha}}.$$ (3) 直線 $RP$ は右上がりなので、鋭角 $\theta$ の正接は $$\displaystyle \tan\theta=\frac{p^\alpha}{p-r}=\frac1{\sqrt{p^{2-2\alpha}+\alpha^2-1}}.$$ $\alpha>1$ より $p^{2-2\alpha}\to0$。角 $\theta$ は鋭角の範囲にあり、その極限が $\pi/4$ となることは正接の極限が1となることと同値。従って $$\displaystyle \frac1{\sqrt{\alpha^2-1}}=1\quad\text{の必要十分条件は}\quad\alpha=\sqrt2.$$

曲線 $y=x^\alpha\ (x>0,\ \alpha>1)$ の $P(p,p^\alpha)$ での接線の $y$ 切片は $(1-\alpha)p^\alpha$。$PR=PQ$ かつ $r=x_R<p$ より $r=p-\sqrt{p^2+(\alpha^2-1)p^{2\alpha}}$。$RP$ の傾きの極限が $1$ となる条件は $\alpha=\sqrt2$。