2富山大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$P=\allowbreak{}(\cos2\theta,\allowbreak{}\sin2\theta)$。直線 $AP$ に関して中心 $O$ を反射すると $O'=\allowbreak{}(\cos2\theta-1,\allowbreak{}\sin2\theta)$ なので、折り返し弧は中心 $O'$、半径1の円上にある。 (1) $y=\allowbreak{}0$ とこの円の交点の$x$座標は $-1,\allowbreak{}2\cos2\theta-1$。$0<\theta<\pi/6$ より後者は正だから $Q=\allowbreak{}(2\cos2\theta-1,\allowbreak{}0)$、$\boxed{AQ=\allowbreak{}2\cos2\theta}$。 (2) $O'Q=\allowbreak{}(\cos2\theta,\allowbreak{}-\sin2\theta)$、$O'P=\allowbreak{}(1,\allowbreak{}0)$ から弧$QP$の中心角は$2\theta$。三角形$AQP$の面積は$\sin4\theta/2$、弧の弓形は$A$と反対側にあり、その面積は$\theta-\sin2\theta/2$。従って $$\displaystyle \boxed{f(\theta)=\tfrac12\sin4\theta+\theta-\tfrac12\sin2\theta}.$$ (3) 弧$BP$と折り返し弧$QP$の長さは各$2\theta$。$BQ=\allowbreak{}1-(2\cos2\theta-1)=\allowbreak{}4\sin^2\theta$ なので $\boxed{g(\theta)=\allowbreak{}4\theta+4\sin^2\theta}$。 (4) $\sin u/u\to1$ より $f(\theta)/\theta\to2$、$g(\theta)/\theta\to4$。よって $\displaystyle \boxed{\lim\limits _{\theta\to+0}f(\theta)/g(\theta)=\allowbreak{}1/2}$。