香川大学 2007年数学第3問解答・解説

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1問題

香川大学2007年度第3問

曲線 $\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>0,\ b>0)$ 上の点 $P(p,q)$ におけるこの曲線の接線を $\ell$ とする。このとき，次の問に答えよ。

1. 直線 $\ell$ の方程式は $\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$ となることを示せ。

2. 点 $P$ が曲線 $C$ の第1象限の部分を動くとする。直線 $\ell$ と $x$ 軸， $y$ 軸の交点をそれぞれ $Q,R$ とするとき，線分 $QR$ の長さの最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$ 。 (2) QRの最小値 $a+b$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $q\ne0$ なら楕円を陰関数微分して接線の傾きは $-b^2p/(a^2q)$ 。点傾き式にPが楕円上にある条件を用いると $\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1.$ $q=0$ では $p=\pm a$ で接線は $x=p$ 、これも同じ式で表せる。 (2) 切片は $Q=(a^2/p,0),R=(0,b^2/q)$ 。 $u=p/a,v=q/b$ と置けば $u,v>0,u^2+v^2=1$ かつ $\displaystyle |QR|^2=\frac{a^2}{u^2}+\frac{b^2}{v^2}.$ よって $\displaystyle |QR|^2-(a+b)^2 =\left(\frac{av}{u}-\frac{bu}{v}\right)^2\ge0.$ 等号は $u^2=a/(a+b),v^2=b/(a+b)$ で実現する。ゆえに最小値は $a+b$ 。

この問題で使う考え方

陰関数の微分
接線の点傾き式
平方の非負性と等号条件

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