2香川大学 2007年 数学 第2問解答・解説

・ $f(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$（$\alpha\ne 0$）とおく。$x=a,b$ で極値をとるから $f'(a)=f'(b)=0$ であり、 $$f'(x)=3\alpha(x-a)(x-b)$$ となる。したがって $$\displaystyle f''(x)=6\alpha x-3\alpha(a+b) =6\alpha\left(x-\frac{a+b}{2}\right)$$ より、変曲点の $x$ 座標は $c=(a+b)/2$ である。また、 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} &=\alpha(a^2+ab+b^2)-\frac{3\alpha}{2}(a+b)^2+3\alpha ab\\ &=-\frac{\alpha}{2}(b-a)^2, \end{aligned}$$ 一方、 $$\displaystyle f'(c)=3\alpha(c-a)(c-b) =-\frac{3\alpha}{4}(b-a)^2 =\frac{3}{2}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ よって、変曲点における接線 $\ell$ の傾きは、$A,B$ を通る直線の傾きの $3/2$ 倍である。

・ $d=b-a>0$ とする。与えられた値から $$f(b)-f(a) =a^3-b^3+3ab^2-3a^2b =(a-b)^3=-d^3$$ なので、$A,B$ を通る直線の傾きは $-d^2$ である。1.の結果と $$\displaystyle -\frac{\alpha}{2}d^2=-d^2$$ から $\alpha=2$ を得る。したがって $$f'(x)=6(x-a)(x-b)=6x^2-6(a+b)x+6ab$$ であり、 $$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx+D$$ と表せる。$f(a)=-a^3+3a^2b$ を代入すると $D=0$ だから、 $$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx.$$ 変曲点では $$\displaystyle c=\frac{a+b}{2},\qquad f(c)=-\frac{(a+b)^3}{2}+3ab(a+b),\qquad f'(c)=-\frac{3}{2}(b-a)^2.$$ よって接線は $$\displaystyle y-f(c)=-\frac{3}{2}(b-a)^2\left(x-\frac{a+b}{2}\right),$$ すなわち $$\displaystyle \ell:\ y=-\frac{3}{2}(b-a)^2x+\frac{(a+b)^3}{4}.$$

導関数の根a,bを用いて一般の三次関数の係数を扱い、変曲点での傾きと端点間の割線の傾きを比較する。後半では端点値から最高次係数と定数項を決め、変曲点での接線を求めた。