5筑波大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) $1<t<e$ より $t\le x\le e$ では $x>0$、$\log x\ge0$ である。領域の縦幅を積分して $$\displaystyle A(t)=\int_t^e\frac{\log x}{x}\,dx =\left[\frac{(\log x)^2}{2}\right]_t^e =\boxed{\frac{1-(\log t)^2}{2}}.$$

(2) $L=\log t$ とおくと $0<L<1$。領域 $B(t)$ では $$\displaystyle y\ge\frac{L}{t},\qquad y\ge\frac{\log x}{x},\qquad y\le\frac1t,\qquad y\le\frac1x.$$ また $\log x\le xy\le1$ から $x\le e$、もともと $x\ge t/2$ だから $t/2\le x\le e$ である。関数 $$\displaystyle \phi(x)=\frac{\log x}{x}$$ は $0<x<e$ で $$\displaystyle \phi'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}>0$$ となり、$\phi(t)=L/t$。したがって $t/2\le x\le t$ では $y$ の下限が $L/t$、上限が $1/t$。$t\le x\le e$ では下限が $\log x/x$、上限が $1/x$ となる。この2区間の縦幅を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} B(t) &=\int_{t/2}^{t}\frac{1-L}{t}\,dx +\int_t^e\frac{1-\log x}{x}\,dx\\ &=\frac{1-L}{2}+\frac{(1-L)^2}{2} =\frac{(1-L)(2-L)}{2}. \end{aligned}$$ 一方 $A(t)=(1-L)(1+L)/2$ なので $$\displaystyle \frac{B(t)}{A(t)}=\frac{2-L}{1+L},\qquad \frac{d}{dL}\left(\frac{2-L}{1+L}\right) =-\frac{3}{(1+L)^2}<0.$$ これは $0<L<1$ でLが大きくなると値が必ず小さくなり、$L\to0+$ と $L\to1-$ での極限はそれぞれ $2$ と $1/2$。端点は達しないため、値域は $$\displaystyle \boxed{\frac12<\frac{B(t)}{A(t)}<2}.$$