4神戸大学 2022年 数学 第4問解答・解説

QC 採用解説：MM-0a02f11548aa-Q4

(1) 直線を双曲線へ代入すると $$(1-a)x^2-2ax-(a+4)=0.$$ $a=1$ ならば $-2x-5=0$ であり、交点は1点だけ。$a\ne1$ ではこの式は二次方程式で、その判別式は $$D=4a^2+4(1-a)(a+4)=4(4-3a).$$ 異なる2交点の条件は $D>0$。もともと $a>0$ なので $$\displaystyle \boxed{0<a<\frac43,\quad a\ne1}.$$

(2) 交点の $x$ 座標を $x_P,x_Q$ とすると、解と係数の関係より $$\displaystyle x_P+x_Q=\frac{2a}{1-a}.$$ したがって中点の第1座標は $s=a/(1-a)$。また直線上で $y=\sqrt a(x+1)$ は $x$ の一次式だから、中点の第2座標は $$\displaystyle t=\frac{\sqrt a(x_P+1)+\sqrt a(x_Q+1)}2 =\sqrt a(s+1)=\frac{\sqrt a}{1-a}.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{s=\frac{a}{1-a},\quad t=\frac{\sqrt a}{1-a}}.$$

(3) 範囲を分けて逆変換も確認する。 $$\displaystyle 0<a<1\quad\text{すなわち}\quad s=\frac{a}{1-a}>0,$$ 実際、任意の $s>0$ から $0<a=s/(s+1)<1$ が得られる。一方、 $$\displaystyle 1<a<\frac43\quad\text{すなわち}\quad s=\frac{a}{1-a}<-4,$$ 逆に $s<-4$ に対して $a=s/(s+1)$ は $1<a<4/3$ を満たす。したがって $$\boxed{s<-4\ \text{または}\ s>0}.$$

(4) $s=a/(1-a)$ より $a=s/(s+1)$ および $1-a=1/(s+1)$ だから $$\displaystyle t=(s+1)\sqrt{\frac{s}{s+1}}.$$ $s>0$ では $s+1>0$、$s<-4$ では $s+1<0$ である。従って符号も指定すると $$\boxed{t=\begin{cases} \sqrt{s(s+1)}&(s>0),\\ -\sqrt{s(s+1)}&(s<-4). \end{cases}}$$

単元： 数学II「図形と方程式」、二次方程式（数学C「平面上の曲線」）。 方法： 直線の代入、判別式、解と係数の関係、逆変換による値域確認。 定理・公式： 二次方程式の判別式、解と係数の関係。 テーマ： 双曲線と直線の交点中点の座標・軌跡。