4徳島大学 2020年 数学 第4問解答・解説

（1）公差が30なので $a_3=a_1+60$。したがって $a_3\leq100$ より、素数 $a_1$ は40以下であり、候補は $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37$。初項が $2,3,5,17,19,31$ の場合は、それぞれ第2項または第3項に $32,33,35,77,49,91$ が現れるため除外される。残る $a_1=7,11,13,23,29,37$ では3項すべてが素数となる。よって $(a_1,a_2,a_3)=(7,37,67),(11,41,71),(13,43,73),(23,53,83),(29,59,89),(37,67,97)$。

（2）各項は3以上の素数なので奇数である。$n$ が偶数なら、奇数を偶数個足した和は偶数であり、しかも和は2より大きいから合成数である。$n$ が奇数なら $n\geq3$ であり、等差数列の和より $$\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n\frac{a_1+a_n}{2}.$$ ここで $(a_1+a_n)/2$ は3以上の整数である。したがって和は1より大きい整数 $n$ と $(a_1+a_n)/2$ の積であり、合成数である。

（3）各項は3より大きい素数なので奇数であり、$d=a_2-a_1$ は偶数である。もし3が $d$ を割り切らなければ、$a_1,a_1+d,a_1+2d$ の3数は3で割った余りがすべて異なる。よってそのうち1つは3で割り切れるが、いずれも3より大きい素数であることに反する。したがって3は $d$ を割り切る。$d$ は2と3の両方で割り切れるので、6は $d$ を割り切る。

（4）各項は5以上だから $100\geq5n$、すなわち $n\leq20$。各項は奇数なので、和が偶数の100になるには $n$ は偶数である。また（3）より $d=6k$（$k$ は正の整数）。等差数列の和 $$\displaystyle 100=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n\left(a_1+\frac{n-1}{2}d\right)$$ から $n$ は100の約数であり、条件を満たす候補は $n=4,10,20$。

$n=4$ のとき、$$\displaystyle 25=a_1+\frac{3}{2}d=a_1+9k.$$ $a_1>3$ より $25-9k>3$、したがって $k=1,2$。$k=1$ では $a_1=16$ となり素数でない。$k=2$ では $a_1=7$ で、数列は $(7,19,31,43)$ となり、各項は素数である。

$n=10$ なら $10=a_1+27k\geq5+27>10$ となり不可能である。$n=20$ なら $5=a_1+57k\geq5+57>5$ となり不可能である。よって求めるものは $n=4,\ (a_1,a_2,a_3,a_4)=(7,19,31,43)$。