1岡山大学 2015年 数学 第1問解答・解説

カードの総数を$M$とする。 $$\displaystyle M=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$ 2枚のカードの組は、全体で$\displaystyle \binom{M}{2}$通りあり、どの組も同じ確率で選ばれる。また、$$\displaystyle \binom{M}{2}=\frac{n(n+1)\{n(n+1)-2\}}{8}=\frac{n(n-1)(n+1)(n+2)}{8}.$$ (1) よって、用意したカードは$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$枚である。

(2) 番号$k$のカードは$k$枚なので、その中から2枚を選ぶ方法は$\displaystyle \binom{k}{2}$通りである。したがって求める確率は$$\displaystyle \frac{\binom{k}{2}}{\binom{M}{2}}=\frac{k(k-1)/2}{n(n+1)\{n(n+1)-2\}/8}=\frac{4k(k-1)}{n(n+1)\{n(n+1)-2\}}.$$ これは$1\leq k\leq n$で成り立ち、特に$k=1$では確率は0となる。

(3) 番号が$j$である2枚の組は$\displaystyle \binom{j}{2}$通りだから、同じ番号となる組の総数は$$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n}\binom{j}{2}=\binom{n+1}{3}.$$ この等式は、$1,2,\ldots,n+1$から3個を選び、その最大の数を$j+1$と定めて数えると、残り2個の選び方が$\displaystyle \binom{j}{2}$通りであることによる。ゆえに確率は$$\displaystyle \frac{\binom{n+1}{3}}{\binom{M}{2}}=\frac{n(n-1)(n+1)/6}{n(n-1)(n+1)(n+2)/8}=\frac{4}{3(n+2)}.$$ (4) 番号$i$と$i+1$のカードから1枚ずつ選ぶ組は$i(i+1)$通りである。小さい方の番号$i$は$1$から$n-1$までなので、連続する番号の組の総数は$$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n-1}i(i+1)=2\sum\limits _{i=1}^{n-1}\binom{i+1}{2}=2\binom{n+1}{3}.$$ したがって求める確率は$$\displaystyle \frac{2\binom{n+1}{3}}{\binom{M}{2}}=\frac{n(n-1)(n+1)/3}{n(n-1)(n+1)(n+2)/8}=\frac{8}{3(n+2)}.$$