2北里大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) $A$ が逆行列をもたないので、連立方程式 $\displaystyle A\binom{x}{y}=\binom00$ は $(x,y)\ne(0,0)$ を満たす解をもつ。これを消去法から確認する。もし右辺が0のこの連立方程式の解が $(x,y)=(0,0)$ だけなら、第一式には少なくとも一つ非零係数がある。必要なら未知数の順を入れ替え、その係数を用いて一文字を消去できる。消去後に残る文字の係数も非零でなければこの連立方程式に $(x,y)\ne(0,0)$ の解ができるから、その係数は非零である。したがって同じ消去で右辺を任意に与えた2元連立方程式も一意に解け、右辺を $(1,0)$、$(0,1)$ とした解を列にもつ逆行列を作れる。これは仮定に反するので、斉次系には非零解がある。

したがって $$(3k+1)x+(2-5k)y=0,\qquad (k-9)x+(2k+4)y=0$$ に非零解がある。$3k+1=0$、すなわち $\displaystyle k=-\frac13$ とすると、第1式から $y=0$、第2式から $x=0$ となり非零解に反する。よって $3k+1\ne0$。また $y=0$ なら第1式から $x=0$ となるので、非零解では $y\ne0$ である。第1式から $$\displaystyle x=\frac{5k-2}{3k+1}y.$$ これを第2式に代入し、$y\ne0$ と $3k+1\ne0$ を用いると $$(k-9)(5k-2)+(2k+4)(3k+1)=0,$$ すなわち $11(k-1)(k-2)=0$。条件 $k\ne1$ より $k=2$。このとき $$A=\begin{pmatrix}7&-8\\-7&8\end{pmatrix}$$ であり、2行目は1行目の $-1$ 倍なので実際に逆行列をもたない。

(2) $k=2$ を代入して成分ごとに積を計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}7&-8\\-7&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&-8\\-7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}105&-120\\-105&120\end{pmatrix}=15A.$$ したがって $$(E+A)^2=E+2A+A^2=E+17A,$$ ゆえに $a_2=17$。

(3) 与えられた形を用いて $n$ 乗から $(n+1)$ 乗を作ると $$(E+A)^{n+1}=(E+a_nA)(E+A)=E+(a_n+1)A+a_nA^2=E+(16a_n+1)A.$$ よって $a_{n+1}=16a_n+1$。また $n=1$ では $E+A=E+a_1A$ なので $a_1=1$。漸化式を $$\displaystyle a_{n+1}+\frac1{15}=16\left(a_n+\frac1{15}\right)$$ と変形すると、$\displaystyle a_n+\frac1{15}$ は初項 $\displaystyle \frac{16}{15}$、公比 $16$ の等比数列である。したがって $$\displaystyle a_n+\frac1{15}=\frac{16}{15}\,16^{n-1}=\frac{16^n}{15},\qquad a_n=\frac{16^n-1}{15}\quad(n\ge1).$$ この式は $n=1$ で $1$、$n=2$ で $17$ を与え、初期値と前問の値にも一致する。