1山口大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ より $\cos\alpha>0$ であるから、 $$\displaystyle \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$ したがって、二倍角の公式より $$\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac45\cdot\frac35=\frac{24}{25}, \qquad \cos2\beta=2\cos^2\beta-1=2\left(\frac78\right)^2-1=\frac{17}{32}.$$

(2) $\displaystyle 0\leq x<y\leq\frac{\pi}{2}$ のとき、加法定理より $$\displaystyle \sin y-\sin x=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}>0$$ である。よって、$\sin x$ は $0$ から $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ まで、角が大きいほど値が必ず大きくなる。正の数どうしを二乗して比べると $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12<\frac{16}{25}=\left(\frac45\right)^2 \quad (25<32), \qquad \left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}<\frac34=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 \quad (64<75).$$ したがって $$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}<\frac45=\sin\alpha<\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3},$$ 上で示した、異なる角に対して正弦の大小が保たれることから $$\displaystyle \frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{3}.$$

(3) $\displaystyle 0\leq x<y\leq\frac{\pi}{2}$ のとき、加法定理より $$\displaystyle \cos x-\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}>0$$ である。よって、$\cos x$ は $0$ から $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ まで、角が大きいほど値が必ず小さくなる。また、加法定理から $$\displaystyle \cos\frac{\pi}{12} =\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$ ここで、両辺が正であり、 $$\displaystyle \left(\frac{12}{5}\right)^2=\frac{144}{25}<6,\qquad \left(\frac75\right)^2=\frac{49}{25}<2$$ であるから、$\displaystyle \sqrt6>\frac{12}{5}$ および $\displaystyle \sqrt2>\frac75$ である。したがって $$\displaystyle \cos\frac{\pi}{12}>\frac{19}{20}>\frac78=\cos\beta \quad (152>140).$$ さらに $$\displaystyle \left(\frac78\right)^2=\frac{49}{64}>\frac{48}{64}=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2$$ より $$\displaystyle \cos\beta=\frac78>\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}.$$ ゆえに $\displaystyle \cos\frac{\pi}{6}<\cos\beta<\cos\frac{\pi}{12}$ である。$\cos x$ は角が大きいほど値が必ず小さくなることから $$\displaystyle \frac{\pi}{12}<\beta<\frac{\pi}{6}.$$