7信州大学 2019年 数学 第7問解答・解説

(1) 加法定理より $$\cos((n+2)\theta)+\cos(n\theta)=2\cos((n+1)\theta)\cos\theta.$$ 移項すると、示すべき式を得る。

(2) 加法定理から $\cos5\theta+\cos\theta=2\cos2\theta\cos3\theta$。$x=\cos\theta$ とし、$\cos2\theta=2x^2-1$, $\cos3\theta=4x^3-3x$ を代入すると $$\cos5\theta=2(2x^2-1)(4x^3-3x)-x=16x^5-20x^3+5x.$$

(3) $x=\cos(\pi/10)$ とおく。$5\theta=\pi/2$ なので $\cos5\theta=0$。よって (2) から $x(16x^4-20x^2+5)=0$。$x>0$ だから、$y=x^2$ とおけば $$\displaystyle 16y^2-20y+5=0,\qquad y=\frac{5\pm\sqrt5}{8}.$$ $0<\pi/10<\pi/4<\pi/2$ で余弦は減少するため $y=\cos^2(\pi/10)>1/2$。小さい方の根は $1/2$ 未満なので、$y=(5+\sqrt5)/8$。