信州大学 2019年数学第6問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

信州大学2019年度第6問

次の問いに答えよ。

(1) 2^n − 1 が3で割り切れるような自然数 n をすべて求めよ。

(2) $n^n$ − 1 が3で割り切れるような自然数 n をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

法3の合同式で底の剰余を分類し、必要な場合は偶奇条件を合わせる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\text{(1)}\quad n=2k\quad(k=1,2,3,\ldots).\qquad \text{(2)}\quad n=3k+1\quad(k=0,1,2,\ldots)\ \text{または}\ n=6k+2\quad(k=0,1,2,\ldots), \quad\text{すなわち }n\equiv1\pmod3\text{ または }n\equiv2\pmod6.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\text{(1)}\; 3\mid(2^n-1)\text{、すなわち } 2^n\equiv1\pmod3.\; 2\equiv-1\pmod3\text{ より }2^n\equiv(-1)^n\pmod3\text{ なので、これは }n\text{ が偶数であることと同値。したがって }n=2k\ (k\ge1).\\ \text{(2)}\; n\text{ を }3\text{ で割った余りで分類する。}\; n\equiv0\pmod3\text{ なら }n^n\equiv0\pmod3\text{ で不適。}\; n\equiv1\pmod3\text{ なら }n^n\equiv1^n\equiv1\pmod3\text{ で、すべて適する。}\; n\equiv2\pmod3\text{ なら }n^n\equiv(-1)^n\pmod3\text{ だから、条件は }n\text{ が偶数であること。}\; n\equiv2\pmod3\text{ かつ }n\equiv0\pmod2\text{ を合わせると }n\equiv2\pmod6.\;\text{以上より、求める }n\text{ は }n=3k+1\ (k\ge0)\text{ または }n=6k+2\ (k\ge0).$

この問題で使う考え方

約数・倍数

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