2島根大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) $C_1$ の式を平方完成すると $$(x-2a)^2+(y-a)^2=5(a-1)^2$$ となる。中心は $(2a,a)$、半径は $\sqrt5\,|a-1|$ である。原点を通る条件を代入すると $0=5-10a$、よって $\displaystyle a=\tfrac12$。従って $$\displaystyle \text{中心 }(1,\tfrac12),\qquad \text{半径 }\frac{\sqrt5}{2}.$$

(2) $A=(x,y)$ が定数 $a$ によらず $C_1$ 上にある条件を $$(x^2+y^2-5)+a(-4x-2y+10)=0$$ と書く。これが $a\ne1$ の全てで成り立つので、$a$ の係数と定数項がともに0である。従って $$x^2+y^2=5,\qquad 2x+y=5.$$ $y=5-2x$ を代入すると $$x^2+(5-2x)^2=5\text{すなわち} 5(x-2)^2=0,$$ よって $x=2,y=1$。実際、$(2,1)$ を元の式に代入すると左辺は $5-10a$ となるから、全ての $a\ne1$ で円上にある。従って $A=(2,1)$。

(3) $C_2,C_3$ の共通点では、二つの円の式の差から $$4x+3y=10,\qquad x^2+y^2=10$$ を得る。直線 $4x+3y=10$ と原点の距離は $2<\sqrt{10}$ なので、$C_2$ との交点は異なる2点であり、これらが $C_2,C_3$ の二交点である。

原点を通る円を $$x^2+y^2+Dx+Ey=0$$ とおく。二交点では $x^2+y^2=10$ だから、この円が両方を通る条件は $Dx+Ey=-10$ である。これは二交点を通る直線であり、二点を結ぶ直線 $4x+3y=10$ と一致する。すなわち $-4x-3y=-10$ だから $D=-4,E=-3$。求める円は $$x^2+y^2-4x-3y=0$$ で、平方完成すると $$\displaystyle (x-2)^2+(y-\tfrac32)^2=\frac{25}{4}.$$ よって中心は $\displaystyle (2,\tfrac32)$、半径は $\displaystyle \tfrac52$。この式は原点を通り、二交点でも $10-4x-3y=0$ を満たす。

(1) 平方完成すると $C_1$ は $(x-2a)^2+(y-a)^2=5(a-1)^2$。原点を代入して $\displaystyle a=\frac12$ なので中心は $\displaystyle (1,\frac12)$、半径は$\displaystyle \frac{\sqrt5}{2}$。(2) $C_1$の式を $(x^2+y^2-5)+a(-4x-2y+10)=0$ と整理する。$A=(x,y)$が$a\neq1$の全てでこの円上にあるので、定数項とaの係数がそれぞれ0。従って $x^2+y^2=5,\quad 2x+y=5$。代入すると$5(x-2)^2=0$で$A=(2,1)$。(3) $C_2,C_3$の交点では差を取って$4x+3y=10$、また$x^2+y^2=10$。原点を通る円を $x^2+y^2+Dx+Ey=0$ とする。この円が両交点を通るには線形条件 $Dx+Ey=-10$ が両方で成立しなければならない。交点は$4x+3y=10$上の異なる2点なので、その直線は$-4x-3y=-10$、従って$D=-4,\ E=-3$。求める円は $x^2+y^2-4x-3y=0$。平方完成して中心$\displaystyle (2,\frac32)$、半径$\displaystyle \frac52$。原点はこの円上にあり、共通交点でも$10-4x-3y=0$となる。