5岐阜大学 2018年 数学 第5問解答・解説

(1) $$\displaystyle \int_0^1\frac{\log(1+x)}{1+x}\,dx=\left[\frac{\{\log(1+x)\}^2}{2}\right]_0^1=\boxed{\frac{(\log2)^2}{2}}.$$ (2) 部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1\frac{\log(1+x)}{(1+x)^2}\,dx &=\left[-\frac{\log(1+x)}{1+x}\right]_0^1+\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^2}\\ &=\boxed{\frac{1-\log2}{2}}. \end{aligned}$$ (3) $x,h>0$より、$0<u<h$で$1/(x+h)<1/(x+u)<1/x$である。積分すると $$\displaystyle \frac1{x+h}<\frac{\log(x+h)-\log x}{h}<\frac1x.$$ しかも$\displaystyle \frac1{x+h}-(\frac1x-\frac h{x^2})=\frac{h^2}{x^2(x+h)}>0$なので、求める厳密不等式が従う。 (4) $x_k=1+k/n$、$h=1/n$とし、求める和を$T_n$とおく。(3)に正数$h\log x_k$を掛けて足すと $$\displaystyle 0<\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\frac{\log x_k}{x_k}-T_n <\frac1{n^2}\sum\limits _{k=1}^n\frac{\log x_k}{x_k^2}\le\frac{\log2}{n}.$$ 右端は0に収束し、中央の比較対象は区分求積法により(1)の積分に収束する。よって $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}T_n=\frac{(\log2)^2}{2}}.$$