岐阜大学 2018年数学第3問解答・解説

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1問題

岐阜大学2018年度第3問

a, b を実数とする。関数 f(θ) を f(θ) = a cos²θ + 2 sinθ cosθ + b sin²θ (0 ≦ θ ≦ 2π) とする。以下の問に答えよ。

(1) 0 以上の実数 r と実数 α, β に対して、p = r cosβ, q = r sinβ とおく。r を p と q を用いて表せ。また、次の等式が成り立つことを示せ。r sin(α + β) = p sinα + q cosα

(2) 関数 y = f(θ) の最小値 m、最大値 M を a, b を用いてそれぞれ表せ。

(3) すべての θ に対して f(θ) ≧ 0 となる条件を a, b を用いて表せ。

(4) すべての θ に対して f(θ) ≦ 0 となる条件を a, b を用いて表せ。

(5) 関数 y = f(θ) が θ の値によって正の値も負の値もとりうる条件を a, b を用いて表せ。また、この条件をみたす点 (a, b) 全体の集合を ab 平面上に図示せよ。（配点比率 20 %）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$r=\sqrt{p^2+q^2}$ , $r\sin(\alpha+\beta)=p\sin\alpha+q\cos\alpha$ .
(2)
$\displaystyle m=\frac{a+b}{2}-\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+1}$ , $\displaystyle M=\frac{a+b}{2}+\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+1}$ .
(3)
$a>0, b>0, ab≥1.$
(4)
$a<0, b<0, ab≥1.$
(5)
$ab<1.$ 境界 $ab=1$ を除き、 $ab<1$ の領域。

解答を見る途中式つきの解答

この問題で使う考え方

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