2岐阜大学 2018年 数学 第2問解答・解説

問題と出典 `MM-96cdd83b89ba-Q2`。平成30年度の固定PDF p.6（医学科の第2問）を確認。A=(2,0,0), B=(3,√3,0)、C=(x,y,z)、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2$、$|BC|=2$、$t=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}$。

解答 $\overrightarrow{AB}=(1,\sqrt3,0)$、$\overrightarrow{BC}=(x-3,y-\sqrt3,z)$ なので内積条件は $x+\sqrt3y=8$、長さ条件は $(x-3)^2+(y-\sqrt3)^2+z^2=4$。また $t=2(x-3)=2x-6$、従って $x=t/2+3$、$y=(10-t)/(2\sqrt3)$。長さ条件に代入すると $(t-1)^2+3z^2=9$ で、$-2≤t≤4$。t=4なら z=0,x=5,y=√3。 さらに $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$ より $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BC}=t+2$。 最後に $|OC|^2=|OB+BC|^2=12+4+2(t+2)=20+2t$。t≦4より最大値は28、よって最大距離は$2\sqrt7$。

編集ラベル - 単元: 数学II・図形と方程式、数学B・ベクトル - 方法: 内積の成分表示、長さの二乗、条件式の代入、二次式の最大 - テーマ: 内積と距離条件で定まる点の位置