3北里大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) 商の微分により $$\displaystyle f'(x)=-\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}<0,\qquad f''(x)=\frac{2e^x(e^x-1)}{(1+e^x)^3}.$$ 従って$f$は全域で単調減少する。$x<0$では$f''(x)<0$、$x>0$では$f''(x)>0$なので、前者で上に凸（凹）、後者で下に凸（凸）であり、原点$(0,0)$が変曲点である。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=1,\qquad \lim\limits _{x\to+\infty}f(x)=-1,$$ ゆえに水平漸近線は$y=1$および$y=-1$。さらに$f(-x)=-f(x)$だからグラフは原点対称で、$f'(0)=-1/2$より原点の接線の傾きは$-1/2$。これらの特徴に従う概形となる。　 (2) $f$は奇関数なので$f(\alpha)/\alpha$は$\alpha\ne0$について偶関数である。よって$\alpha>0$だけを調べればよい。$q(x)=f(x)/x$とおくと $$\displaystyle q'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}.$$ 分子を$N(x)=xf'(x)-f(x)$とすれば$N'(x)=xf''(x)>0$（$x>0$）であり、$N(0)=0$だから$N(x)>0$、従って$q'(x)>0$。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}q(x)=f'(0)=-\frac12,\qquad \lim\limits _{x\to+\infty}q(x)=0$$ である。$q$はxが大きくなると値が必ず大きくなり両端値を取らないため、その値域は$-1/2<q(x)<0$。偶関数性により全ての$\alpha\ne0$でも同じ範囲となる。　 (3) $\alpha>0$では$f''(x)>0$（$x>0$）なので、曲線は$0\le x\le\alpha$ の範囲で弦より下にある。直線$OP$は$y=(f(\alpha)/\alpha)x$だから、囲まれた面積は $$\displaystyle S=\int_0^\alpha\left(\frac{f(\alpha)}{\alpha}x-f(x)\right)dx =\frac{\alpha}{2}f(\alpha)-\int_0^\alpha f(x)\,dx.$$ $\displaystyle f(x)=1-2\frac{e^x}{1+e^x}$と書けるので、原始関数は$x-2\log(1+e^x)$。従って $$\displaystyle \int_0^\alpha f(x)\,dx=\alpha-2\log(1+e^\alpha)+2\log2,$$ これを代入して $$\displaystyle S=\frac{\alpha}{2}f(\alpha)-\alpha+2\log\frac{1+e^\alpha}{2}.$$ 被積分関数は内部で正なので面積も正であり、積分表示との符号が一致する。