2東京慈恵会医科大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) $C_1$ の接線の傾きは $e^t$、$C_2$ の $x=s$ における接線の傾きは $e^{1-s}$ である。二つの接線が一致するので $$e^t=e^{1-s},\qquad s=1-t.$$ $C_1$ の接線は $$\ell_t:\ y=e^t(x-t)+e^t=e^tx+e^t(1-t)$$ である。一方、$C_2$ の $x=s$ における接線は $$y=e^{1-s}(x-s)-e^{1-s}+a=e^tx+a-e^t(s+1).$$ 定数項も一致するから $e^t(1-t)=a-e^t(s+1)$。ここに $s=1-t$ を代入すると $$a=e^t(1-t+s+1)=e^t(3-2t).$$

(2)(i) $C_1$ は下に凸なので、その接線 $\ell_t$ は$0\le x\le t$ の範囲で曲線の下にある。よって $$\displaystyle S_1(t)=\int_0^t\{e^x-e^t(x+1-t)\}\,dx=e^t-1-e^t\left(t-\frac{t^2}{2}\right)=e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1.$$ 次に $s=1-t$ とし、$u=x-s$ とおく。$C_2$ の接線と曲線との差は $$\ell_t(x)-(-e^{1-x}+a)=e^t(u-1+e^{-u}).$$ 関数 $g(u)=u-1+e^{-u}$ は $g(0)=0$、$g'(u)=1-e^{-u}$ であり、$u<0$ では減少、$u>0$ では増加するから、$g(u)\ge0$ である。したがって接線は常に曲線以上にあり、$Q$ と $y$ 軸の間の面積は $$\displaystyle S_2(t)=e^t\left|\int_0^{t-1}(u-1+e^{-u})\,du\right|.$$ 積分すると $$\displaystyle \int_0^{t-1}(u-1+e^{-u})\,du=\frac{t^2-4t+5}{2}-e^{1-t},$$ よって $$\displaystyle S_2(t)=\left|\frac{e^t}{2}(t^2-4t+5)-e\right| =\begin{cases} e-\dfrac{e^t}{2}(t^2-4t+5)&(0<t\le1),\\[3pt] \dfrac{e^t}{2}(t^2-4t+5)-e&(t\ge1). \end{cases}$$ 符号は $t-1$ の符号で決まる。実際、絶対値の中身は $\displaystyle e^t\int_0^{t-1}g(u)\,du$ であり、$g(u)\ge0$ だからである。$t=1$ では $s=0$ で、式も $S_2(1)=0$ を与える。

(2)(ii) 前問の式を加えると $$\displaystyle S(t)=\begin{cases} e^t\left(t-\dfrac32\right)+e-1&(0<t\le1),\\[3pt] e^t\left(t^2-3t+\dfrac72\right)-e-1&(t\ge1). \end{cases}$$ それぞれ微分すると $$\displaystyle S'(t)=\begin{cases} e^t\left(t-\dfrac12\right)&(0<t<1),\\[3pt] e^t\left(t^2-t+\dfrac12\right)&(t>1). \end{cases}$$ 前者は $\displaystyle 0<t<\frac12$ で負、$\displaystyle \frac12<t<1$ で正である。後者は $$\displaystyle t^2-t+\frac12=\left(t-\frac12\right)^2+\frac14>0$$ だから $t>1$ で正である。式は $t=1$ で連続し、$S$ はそこで増加を続ける。したがって全体の最小値は $\displaystyle t=\frac12$ のときであり、 $$\displaystyle S\left(\frac12\right)=e-\sqrt e-1.$$ 検算として、この値は $\displaystyle S_1(\frac12)+S_2(\frac12)$ に戻しても $\displaystyle \frac58\sqrt e-1+e-\frac{13}{8}\sqrt e=e-\sqrt e-1$ と一致する。