5大阪大学 2003年 数学 第5問解答・解説

解説

中心を $(a,b)$ とすれば、軸に接する楕円の方程式は $$\displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$$ です。点 $(1,2)$ を代入し、逆数 $u=1/a, v=2/b$ を使うと、条件は中心 $(1,1)$、半径1の円上に $(u,v)$ があることになります。$a,b$ は有限かつ0でないので $u,v$ は0を除きます。円の縦断面が実数点をもつ条件は $0<u\le2$ であり、これを $a=1/u$ に戻すと $a\ge1/2$ です。

二つの楕円がある場合の $v$ の二値は $1\pm d$ です。ただし $u=1$ では片方が $v=0$ となって有限な楕円にならず、結局1つだけです。$u=2$ では二値が一致し、これも1つだけです。したがって面積関数の定義域は $1/2<a<1$ または $a>1$ です。

中心の2点は同じ $x$ 座標 $a$ をもち、$A$ からその垂直線までの距離は $|a-1|$ です。これを底辺の縦の長さ $|b_+-b_-|$ と組み合わせて面積を得ます。微分符号は分子 $a^2-3a+1$ の根と分母の符号から判断できます。左区間では増加し、右区間では $a_0=(3+\sqrt5)/2$ でただ一つの最小値を取ります。グラフには $a=1$ の両側の垂直漸近と $a\to\infty$ の発散を示します。

白丸は除外点、破線 a=1 は垂直漸近線。右の枝の極小点を黒点で示した。横軸の表示範囲を越えて右枝は増加し続ける。