4大阪大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) $q=k^n$ とおく。$q$は正整数である。$\ell\ge2$ なので、正整数$r$について $\ell^r\ge2^r\ge r+1$ が成り立つ。最後の不等式は、$r=1$で成り立ち、$2^r\ge r+1$ なら $2^{r+1}\ge2r+2\ge r+2$ となることから帰納的に確かめられる。$r=q+1$ とすれば $\ell^{q+1}\ge q+2>q$ である。したがって $q<\ell^r$ となる正整数$r$が存在する。そのうち最小のものを$m$ とする。$m=1$なら$q\ge1=\ell^0$ であり、$m\ge2$ なら $m-1$が最小でないことから$q\ge\ell^{m-1}$ である。いずれも $q<\ell^m$ なので、$\ell^{m-1}\le k^n<\ell^m$ を得る。

(2) $k,\ell\ge2$ とする。与式で $k=\ell=1$ とすると $a_1=a_1+a_1$ だから $a_1=0$ である。また隣り合う項は $a_k<a_{k+1}$ を満たすので $a_\ell>a_1=0$。固定した整数$x\ge2$ に対し、与式を繰り返すと $a_{x^r}=ra_x\ (r=1,2,\ldots)$ となる。実際、$r=1$では明らかで、$a_{x^{r+1}}=a_{x^r x}=a_{x^r}+a_x$ により次の段階も成り立つ。$r=0$の場合も $a_{x^0}=a_1=0$ とすれば同じ式である。(1)の$m$を用いると、数列の単調性から $a_{\ell^{m-1}}\le a_{k^n}<a_{\ell^m}$ である。$m=1$の左端は添字$1$、値$a_1=0$である。累乗添字の式を代入して $(m-1)a_\ell\le na_k<ma_\ell$。正数$na_\ell$ で割ると $\displaystyle \frac{m-1}{n}\le\frac{a_k}{a_\ell}<\frac mn$ となる。

同じ指数のはさみうちに対数の単調性を使い、$\log\ell>0$ で割れば $\displaystyle \frac{m-1}{n}\le\frac{\log k}{\log\ell}<\frac mn$ も得られる。二つの比をそれぞれ $\displaystyle \frac{m-1}{n}+u,\ \frac{m-1}{n}+v$ と書くと、$\displaystyle 0\le u<\frac1n,\ 0\le v<\frac1n$ である。したがってその差は$u-v$ であり、$\displaystyle -\frac1n<u-v<\frac1n$。これが求める不等式である。

(3) (2) で $\ell=2$ とする。固定した$k\ge2$ に対し、すべての正整数$n$ について $\displaystyle \left|\frac{a_k}{a_2}-\frac{\log k}{\log2}\right|<\frac1n$ である。もし左辺が正なら、その逆数より大きい正整数$n$を選べば矛盾するので、左辺は0である。$a_2=a$ を代入すると $\displaystyle a_k=a\frac{\log k}{\log2}=a\log_2 k$。$k=1$では $a_1=0$ と $\log1=0$ より同じ式が成り立つ。また $a_2>a_1=0$ なので $a>0$。よって $a_k=a\log_2 k\ (k=1,2,\ldots)$ である。