4三重大学 2002年 数学 第4問解答・解説

(1) $|\alpha|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2$ であり、$\arg(\alpha)=\pi/3$ である。$r=|\beta|$ とおくと、偏角の条件から $r>0$ で $$\displaystyle \beta=r\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac{r}{2}-\frac{\sqrt3 r}{2}i.$$

(2) $A=(1,\sqrt3)$、$B=(r/2,-\sqrt3 r/2)$ とする。$C$ は直線 $AB$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて $$C=A+\lambda(B-A)$$ と表せる。$C$ は実軸上にあるから、その虚部（$y$ 座標）は $0$ である。したがって $$\displaystyle \sqrt3+\lambda\left(-\frac{\sqrt3 r}{2}-\sqrt3\right)=0, \qquad \lambda=\frac{2}{r+2}.$$ $r>0$ より $0<\lambda<1$ であり、$C$ は線分 $AB$ 上にある。実部は $$\displaystyle \gamma=1+\lambda\left(\frac r2-1\right)=1+\frac{r-2}{r+2}=\frac{2r}{r+2}.$$ この式は $r=2$ の場合もそのまま成り立つ。

(3) $AB$ の長さは $$\displaystyle |AB|=\sqrt{\left(\frac{r-2}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3(r+2)}{2}\right)^2}=\sqrt{r^2+2r+4}.$$ $C=A+\lambda(B-A)$ で $0<\lambda<1$ だから $$\displaystyle |AC|=\lambda|AB|=\frac{2\sqrt{r^2+2r+4}}{r+2},\qquad |CB|=(1-\lambda)|AB|=\frac{r\sqrt{r^2+2r+4}}{r+2}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{|AC|}{|CB|}=\frac{2}{r}=\frac{2}{|\beta|}, \qquad |AC|:|CB|=2:|\beta|.$$