5久留米大学 2022年 数学 第5問解答・解説

正の約数の個数を$\tau(n)=\langle n\rangle$と書く。

(1) $72=2^3\cdot3^2$，$48=2^4\cdot3$より $$\tau(72)=(3+1)(2+1)=12,\qquad \tau(48)=(4+1)(1+1)=10。$$ したがって$\langle72\rangle-\langle48\rangle=2$。

(2) 正の約数が2個である自然数は素数である。3桁の素数の最小は$101$である。$101$は$2,3,5,7$のいずれでも割り切れず，$\sqrt{101}<11$なので素数である。 また$998$は偶数，$999$は3の倍数であり，$997$はこれらの次の数である。$\sqrt{997}<32$で，$997$は素数$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$のどれでも割り切れない（$7,11,13,17,19,23,29,31$で割った余りは順に$3,7,9,11,9,8,11,5$）。よって$997$は素数であり，3桁の素数の最大値である。したがって最小値は$101$，最大値は$997$。

(3) $\displaystyle n=\prod p_j^{e_j}$と素因数分解すると $$\displaystyle \tau(n)=\prod(e_j+1)。$$ これが奇数となるのは，全ての$e_j$が偶数のとき，すなわち$n$が平方数のときに限る。2桁の平方数は $$4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2=16,25,36,49,64,81$$ の6個である。

(4) $81=3^4$より$\langle81\rangle=5$。$t=\langle n\rangle$とおくと $$2t^2-9t-35=0,\qquad (2t+5)(t-7)=0。$$ $t$は正の整数なので$t=7$。素因数分解$\displaystyle n=\prod p_j^{e_j}$に対して$\displaystyle \tau(n)=\prod(e_j+1)=7$となるには，7が素数であることから$n=p^6$（$p$は素数）でなければならない。3桁となるのは$3^6=729$だけである（$2^6=64<100$，$5^6>999$）。したがって$n=729$。