6久留米大学 2022年 数学 第6問解答・解説

$0$ 以上の整数 $m,n$ に対して $$\displaystyle I_{m,n}=\int_1^e x^m(\log x)^n\,dx$$ とする。

$$\text{(1)}$$ $n=0$ として直接積分すると $$\displaystyle I_{m,0}=\int_1^e x^m\,dx =\left[\frac{x^{m+1}}{m+1}\right]_1^e =\frac{e^{m+1}-1}{m+1}.$$ したがって $$\boxed{\text{し}=1,\quad \text{す}=1,\quad \text{せ}=1}.$$

$$\text{(2)}$$ $I_{m+1,n+1}$ を部分積分する。$u=(\log x)^{n+1}$， $dv=x^{m+1}\,dx$ とおくと $$\displaystyle du=\frac{n+1}{x}(\log x)^n\,dx,\qquad v=\frac{x^{m+2}}{m+2}.$$ $x=1$ では $(\log 1)^{n+1}=0$，$x=e$ では $(\log e)^{n+1}=1$ であるから， $$\displaystyle \begin{aligned} I_{m+1,n+1} &=\left[\frac{x^{m+2}(\log x)^{n+1}}{m+2}\right]_1^e -\frac{n+1}{m+2}\int_1^e x^{m+1}(\log x)^n\,dx\\ &=\frac{e^{m+2}}{m+2}-\frac{n+1}{m+2}I_{m+1,n}. \end{aligned}$$ よって $$\boxed{\text{そ}=2,\quad \text{た}=2,\quad \text{ち}=1,\quad \text{つ}=2}.$$

$$\text{(3)}$$ (2)で $m=2$ とすると $$\displaystyle I_{3,n+1}=\frac{e^4}{4}-\frac{n+1}{4}I_{3,n}.$$ まず $$\displaystyle I_{3,0}=\frac{e^4-1}{4}.$$ これを順に代入して $$\displaystyle \begin{aligned} I_{3,1} &=\frac{e^4}{4}-\frac14I_{3,0} =\frac{3e^4+1}{16},\\ I_{3,2} &=\frac{e^4}{4}-\frac24I_{3,1} =\frac{5e^4-1}{32},\\ I_{3,3} &=\frac{e^4}{4}-\frac34I_{3,2} =\frac{17e^4+3}{128}. \end{aligned}$$ したがって $$\boxed{\text{て}=1,\quad\text{と}=7,\quad \text{な}=4,\quad\text{に}=3}.$$