4香川大学 2022年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }x>0\text{ で部分積分を用いると} \begin{aligned} \int x\log x\,dx&=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\ &=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C. \end{aligned} \text{(2) }f'(x)=\log x+1\text{ だから，} \begin{aligned} I(a)&=5\int_1^a x\log x\,dx-a\int_1^a(\log x+1)\,dx\\ &=5\left[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\right]_1^a-a\left[x\log x\right]_1^a\\ &=5\left(\frac{a^2}{2}\log a-\frac{a^2}{4}+\frac14\right)-a^2\log a\\ &=\frac32a^2\log a-\frac54a^2+\frac54. \end{aligned} \text{(3) }a>1\text{ において} \begin{aligned} I'(a)&=3a\log a-a=a(3\log a-1). \end{aligned} \text{ここで }a>0\text{ なので，}I'(a)=0\text{ となるのは }a=e^{1/3}\text{ である。} 1<a<e^{1/3}\text{ では }I'(a)<0\text{，}a>e^{1/3}\text{ では }I'(a)>0\text{ だから，}I(a)\text{ は }a=e^{1/3}\text{ で最小となる。} \begin{aligned} I\left(e^{1/3}\right)&=\frac32e^{2/3}\cdot\frac13-\frac54e^{2/3}+\frac54\\ &=\frac{5-3e^{2/3}}{4}. \end{aligned}$$