2香川大学 2022年 数学 第2問解答・解説

円 $C$ の中心は $(1,1)$、半径は $1$ であり、 $$\displaystyle P=(1+\cos\theta,\,1+\sin\theta),\qquad 0<\theta<\frac{\pi}{2}$$ である。以下、$s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおく。範囲から $s,c>0$ である。

(1) 半径 $CP$ の傾きは $s/c$ だから、点 $P$ における接線の傾きは $-c/s$ である。したがって接線の方程式は $$\displaystyle y-(1+s)=-\frac{c}{s}\bigl(x-(1+c)\bigr)$$ である。$x$ 軸との交点 $A$、$y$ 軸との交点 $B$ は、それぞれ $$\displaystyle A=\left(1+\frac{1+s}{c},0\right),\qquad B=\left(0,1+\frac{1+c}{s}\right)$$ となる。ここで $K=1+s+c$ とおくと、 $$\displaystyle A=\left(\frac Kc,0\right),\qquad B=\left(0,\frac Ks\right).$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} L(\theta) &=\sqrt{\left(\frac Kc\right)^2+\left(\frac Ks\right)^2}\\ &=K\sqrt{\frac1{c^2}+\frac1{s^2}} =\frac{1+s+c}{sc}, \end{aligned}$$ ただし $s^2+c^2=1$ および $s,c>0$ を用いた。したがって $$\displaystyle \boxed{L(\theta)=\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}}.$$

(2) $u=s+c$ とおくと、 $$u^2=(s+c)^2=1+2sc,$$ したがって $sc=(u^2-1)/2$ である。(1)の式は $$\displaystyle L(\theta)=\frac{1+u}{(u^2-1)/2}=\frac{2}{u-1}$$ となる。$s,c>0$ より $u>1$ であり、また $$(s+c)^2\leq 2(s^2+c^2)=2$$ だから $u\leq\sqrt2$ である。よって $L=2/(u-1)$ は $u$ が最大のとき最小となる。等号 $u=\sqrt2$ は $s=c$、すなわち $\theta=\pi/4$ で実現する。ゆえに最小値は $$\displaystyle \boxed{\frac{2}{\sqrt2-1}=2(\sqrt2+1)}.$$