3香川大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)　 x=0 ならば $y=2/a$ であり、$a>0$ のもとで $y$ は正の値をすべてとる。次に $x\ne0$ とする。相加平均・相乗平均の関係より $$\displaystyle ax^2+\frac2a\ge 2\sqrt{ax^2\cdot\frac2a}=2\sqrt2\,|x|.$$ 等号は $ax^2=2/a$、すなわち $a=\sqrt2/|x|$ のときに成り立つ。さらに $a\mapsto ax^2+2/a$ は $a>0$ で連続であり、$a\to0+$ および $a\to\infty$ のいずれでも $+\infty$ に向かう。したがって、最小値以上のすべての $y$ が実現する。よって到達領域は $y\ge2\sqrt2|x|$ の部分であるが、$x=0$ のとき $y=0$ は実現しないため原点を除く。図では折れ線 $y=2\sqrt2|x|$ の上側を塗り、原点だけを白丸とし、それ以外の境界を含める。

(2)　 $x=0$ ならば $y=2/a$ より $y>0$ である。$x\ne0$ のとき、$a^2x^2$ と $1/a$ は正だから、相加平均・相乗平均の関係より $$\displaystyle a^2x^2+\frac1a+\frac1a\ge3\sqrt[3]{a^2x^2\left(\frac1a\right)^2}=3|x|^{2/3}.$$ 等号条件 $a^2x^2=1/a$ から $a=|x|^{-2/3}$ であり、このとき最小値 $3|x|^{2/3}$ をとる。一方、$a\mapsto a^2x^2+2/a$ は $a>0$ で連続で、$a\to0+$ および $a\to\infty$ で $+\infty$ に向かう。中間値の定理により最小値以上のすべての値が実現する。したがって到達領域は $y\ge3|x|^{2/3}$ の部分から原点を除いたものとなる。図では曲線 $y=3|x|^{2/3}$ の上側を塗り、原点だけを白丸として、それ以外の境界を含める。