1和歌山県立医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }I=[x,y]\text{ とおくと }x\leq a\leq y\text{ である。} \quad \text{まず }x<0\text{ なら }I\cap I_0=[0,1]\text{ だから }L(I\cap I_0)=1\text{ であり、} \quad L(I)=y-x\geq a-x>a\text{ より }aL(I\cap I_0)<L(I)\text{ となる。} \quad 0\leq x<1\text{ なら }L(I\cap I_0)=1-x\text{ で、} \quad aL(I\cap I_0)=a(1-x)\leq a-x\leq y-x=L(I). \quad \text{ここで最初の不等式は }(a-1)x\geq0\text{ による。等号には }x=0\text{ が必要であり、} \quad \text{次の不等式の等号には }y=a\text{ が必要である。したがって全体の等号成立は }x=0,y=a\text{、} \quad \text{すなわち }I=[0,a]\text{ のときに限る。} \quad \text{最後に }x\geq1\text{ なら交わりの長さは }0\text{ であり、}1/a>0\text{ だから不等式は狭義に成立する。} \quad \text{以上で (1) が示された。} \quad \quad \text{(2) }Q\text{ の一辺を }s>0\text{ とする。点 }P(a,b)\text{ から }Q\text{ の左辺、下辺までの距離を }\alpha,\beta\text{ とおけば、} \quad 0\leq\alpha,\beta\leq s\text{ であり、} \quad Q=[a-\alpha,a-\alpha+s]\times[b-\beta,b-\beta+s]\text{ と表せる。} \quad \text{水平方向と垂直方向の }Q_0\text{ との重なりの長さをそれぞれ }X,Y\text{ とする。} \quad \text{水平方向の右端 }a+s-\alpha\text{ は }a\text{ 以上で、}a\geq2\text{ だから }1\text{ より大きい。従って} \quad X=\min\{1,\max\{0,\alpha-a+1\}\}. \quad \text{同様に垂直方向の右端 }b+s-\beta\text{ は }b\geq1\text{ 以上だから} \quad Y=\min\{1,\max\{0,\beta-b+1\}\}. \quad \text{長方形 }Q\cap Q_0\text{ の横と縦の長さは }X,Y\text{ であるから }S(Q\cap Q_0)=XY\text{ である。} \quad \quad \text{(i) }s\geq a\text{ のとき、}X,Y\leq1\text{ より} \quad \frac{S(Q\cap Q_0)}{S(Q)}=\frac{XY}{s^2}\leq\frac1{s^2}\leq\frac1{a^2}. \quad \text{等号には }s=a\text{ かつ }XY=1\text{ が必要である。}X,Y\leq1\text{ なのでこれは }X=Y=1\text{ と同値であり、} \quad X=1\text{であるための必要十分条件は}\alpha=a,\qquad Y=1\text{であるための必要十分条件は}\beta\geq b\text{ と }\beta\leq a\text{ である。} \quad \text{したがって }\alpha=a,\ b\leq\beta\leq a\text{ であり、}Q\text{ は} \quad Q=[0,a]\times[c,c+a],\qquad b-a\leq c\leq0 \quad \text{と表される。このとき }Q_0\subseteq Q\text{ なので共通部分の面積は }1\text{、面積比は }1/a^2\text{ である。} \quad \quad \text{(ii) }a-1<s<a\text{ のとき、}\alpha\leq s\text{ より }X\leq s-a+1\text{ であり、}Y\leq1\text{ だから} \quad XY\leq s-a+1. \quad \delta=a-s\text{ とおくと }0<\delta<1\text{ である。}a\geq2\text{ より} \quad \frac{s^2}{a^2}-(s-a+1)=\delta\left(1-\frac2a+\frac{\delta}{a^2}\right)>0. \quad \text{よって }XY<s^2/a^2\text{ であり、両辺を }s^2>0\text{ で割れば} \quad \frac{S(Q\cap Q_0)}{S(Q)}<\frac1{a^2}\text{ を得る。} \quad \quad \text{(iii) }s\leq a-1\text{ のとき、}\alpha\leq s\text{ だから }\alpha-a+1\leq0\text{、従って }X=0\text{ である。} \quad \text{ゆえに }S(Q\cap Q_0)=XY=0\text{ であり、}1/a^2>0\text{ だから不等式は狭義に成立する。} \quad \text{以上より (2) の等号成立は (i) で得た }Q=[0,a]\times[c,c+a]\ (b-a\leq c\leq0)\text{ に限る。}$$