金沢大学 2003年数学第4問解答・解説

指数関数・対数関数図形と方程式極限

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1問題

金沢大学2003年度第4問

関数 f(x) = e^{2x} + e^{-2x} - 2 に対して以下の問いに答えよ。

(1) f(0), f'(0) および lim_{x→0} f(x)/x^2 の値を求めよ。

(2) O を原点、P を曲線 y = f(x) 上の点、Q を x 軸上の点とする。P, Q の x 座標がともに正で、OP = OQ の関係を保ちながら P, Q が動くとき、直線 PQ が y 軸と交わる点を R とする。

(i) P の x 座標を t, R の y 座標を g(t) とおくとき、g(t) = [t^2 + {f(t)}^2 + t√(t^2 + {f(t)}^2)]/f(t) となることを示せ。

(ii) P が O に限りなく近づくとき、R が近づく点を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $f(0)=0$ 、 $f'(0)=0$ 、 $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=4$ 。 (2)(i) $\displaystyle g(t)=\frac{t^2+f(t)^2+t\sqrt{t^2+f(t)^2}}{f(t)}$ 。 (ii) $\displaystyle R\to(0,\frac12)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文p.4/印刷p.2の第4問と定義を確認。 $f(x)=(e^x-e^{-x})^2$ なので $f(0)=f'(0)=0$ 、 $\displaystyle \left[\frac{e^x-1}{x}+\frac{1-e^{-x}}{x}\right]^2\to4$ 。 $t>0$ 、 $P=(t,f(t))$ 、 $q=\sqrt{t^2+f(t)^2}>t$ 、 $Q=(q,0)$ 。直線 $PQ$ のy切片 $\displaystyle g=\frac{fq}{q-t}$ 。 $q^2-t^2=f^2$ より問題の分数式になる。 $\displaystyle u=\frac{f}{t^2}\to4$ 、 $\displaystyle \frac ft=tu\to0$ をその式へ代入すると $\displaystyle g\to\frac12$ 、従って $\displaystyle R\to(0,\frac12)$ 。旧A035/currentの変形・極限を確認。

この問題で使う考え方

指数関数の微分
距離の公式
直線の切片
基本極限による極限計算

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