秋田大学 2019年数学第7問解答・解説

1問題

秋田大学2019年度第7問

1から5までの番号が1つずつ書かれた5枚のカードが箱に入っている。この箱からカードを1枚取り出し，番号を確認してからもとに戻す。この試行を3回続けて行い，取り出したカードの番号を順に $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ とする。次の問いに答えなさい。

(i) $a_{1}<a_{2}<a_{3}$ となる確率を求めなさい。

(ii) $(a_{1}-a_{2})(a_{2}-a_{3})(a_{3}-a_{1})=0$ となる確率を求めなさい。

(iii) $a_{1}a_{2}-a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1}=0$ となる確率を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) 2/25。(ii) 13/25。(iii) 2/125。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

各試行は復元抽出なので、順序つきの結果 $(a_1,a_2,a_3)$ は全部で $5^3=125$ 通りあり、すべて同様に確からしい。

(i) $a_1<a_2<a_3$ となるには異なる3個の番号を選び、それらが昇順に並ぶ必要がある。したがって該当する組は $\displaystyle \binom53=10$ 通りであり、求める確率は $10/125=2/25$ 。

(ii) 積が0となるのは、3つの因子のうち少なくとも1つが0、すなわち3つの番号のうち少なくとも2つが等しいときである。余事象は3つがすべて異なる場合で、その順序つきの組は $5\cdot4\cdot3=60$ 通り。よって確率は $\displaystyle 1-\frac{60}{125}=\frac{13}{25}.$

(iii) 条件式を整理すると $a_2(a_3-a_1)=a_1a_3.$ 右辺は正なので $a_3>a_1$ 。 $1\le a_1<a_3\le5$ の10通りについて $a_2=a_1a_3/(a_3-a_1)$ を調べると、値は順に $\displaystyle \begin{array}{c|cccccccccc} (a_1,a_3)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(3,4)&(3,5)&(4,5)\\ \hline a_2&2&\frac32&\frac43&\frac54&6&4&\frac{10}{3}&12&\frac{15}{2}&20 \end{array}$ このうち $a_2$ が1から5までの整数となるのは $(a_1,a_2,a_3)=(1,2,2),(2,4,4)$ の2通り。したがって確率は $2/125$ 。

この問題で使う考え方

組合せ
余事象
順序つき列の列挙

1問題

2答え

3解答

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