2名古屋大学 2022年 数学 第2問解答・解説

各回の出方を区別すると、すべての組 $(a,b,c)$ は $6^3=216$ 通りで同様に確からしい。

(1) $u=ab$ とおくと、不等式は $u(c-1)\le2c$。$c=1$ のときはすべての $(a,b)$ が適するので36通りである。$c\ge2$ のときは $ab\le2c/(c-1)$ を数える。 $$\begin{array}{c|cccccc} c&1&2&3&4&5&6\\\hline ab\text{ の上限（整数）}&\text{制限なし}&4&3&2&2&2\\ (a,b)\text{ の個数}&36&8&5&3&3&3 \end{array}$$ 例えば $ab\le4$ の個数は、$a=1,2,3,4$ ごとに $4,2,1,1$ 通りの計8通り。$ab\le3$ は $(1,1),\allowbreak(1,2),\allowbreak(2,1),\allowbreak(1,3),\allowbreak(3,1)$ の5通り、$ab\le2$ は初めの3通りである。したがって求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{36+8+5+3+3+3}{216}=\frac{29}{108}}.$$

(2) $u=ab$ が偶数なら $u+2c$ と $2uc$ はともに偶数であり、互いに素にならない。よって $a,b$ はともに奇数、すなわち $1,3,5$ のいずれかでなければならない。 このとき $u+2c$ は奇数である。また $$\gcd(u+2c,u)=\gcd(2c,u)=\gcd(c,u),\qquad \gcd(u+2c,c)=\gcd(u,c).$$ したがって $u+2c$ と $2uc$ が互いに素であるための必要十分条件は、$u$ が奇数で $\gcd(u,c)=1$ となることである。 $a,b$ がそれぞれ $1,3,5$ のいずれかである場合を次の4種類に分ける。 $$\begin{array}{c|c|c|c} (a,b)\text{ の種類}&\text{組数}&\text{許される }c&\text{計}\\\hline (1,1)&1&1,2,3,4,5,6&6\\ 3\text{ を含み、}5\text{ を含まない}&3&1,2,4,5&12\\ 5\text{ を含み、}3\text{ を含まない}&3&1,2,3,4,6&15\\ 3,5\text{ を両方含む}&2&1,2,4&6 \end{array}$$ 2行目は $(1,3),(3,1),(3,3)$、3行目は $(1,5),(5,1),(5,5)$、4行目は $(3,5),(5,3)$ であり、重複も漏れもない。よって $$\displaystyle \boxed{\frac{6+12+15+6}{216}=\frac{13}{72}}.$$