4名古屋大学 2022年 数学 第4問解答・解説

$f$ は問題文で定義された増加関数で $f(0)=1$ だから $f(x)\ge1$（$x\ge0$）である。

(1) $\displaystyle I_n=\displaystyle\int_0^{2-1/n}\frac{f(x)}{2-x}\,dx$ とおくと $$\displaystyle I_n\ge\int_0^{2-1/n}\frac{dx}{2-x}=\ln(2n)\longrightarrow\infty.$$

(2) $c_n=2+1/n$ とする。$y\ge c_n$ では $$\displaystyle F_n(y)=\int_{c_n}^{y}\frac{f(x)}{x-2}\,dx \ge\int_{c_n}^{y}\frac{dx}{x-2}=\ln\{n(y-2)\}\longrightarrow\infty.$$ また $F_n(c_n)=0$ と延長すれば、$F_n$ は連続であり、$c_n\le y_1<y_2$ なら $F_n(y_1)<F_n(y_2)$ が成り立つ。$I_n>0$ だから、$F_n(y)$ が0から無限大へ増えることと中間値の定理より $F_n(a_n)=I_n$ を満たす $a_n>c_n$ が存在し、この増加の性質によりただ1つである。$x>2$ では $f(x)/(2-x)=-f(x)/(x-2)$ なので、この式は問題文の積分方程式と同値である。

(3) $4>c_n$。置換 $t=2-x$ および $t=x-2$ により $$\displaystyle I_n=\int_{1/n}^{2}\frac{f(2-t)}{t}\,dt,\qquad F_n(4)=\int_{1/n}^{2}\frac{f(2+t)}{t}\,dt.$$ ここで $t>0$、$2+t>2-t\ge0$ だから、問題文の増加関数の定義より $f(2+t)>f(2-t)$。従って $F_n(4)>I_n=F_n(a_n)$ であり、$F_n$ の上の増加の性質から $$\boxed{a_n<4}\quad(n=1,2,3,\ldots).$$