名古屋大学 2022年数学第1問解答・解説

いろいろな式

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1問題

名古屋大学2022年度第1問

a, b を実数とする。

(1) 整式 $x^3$ を2次式 (x-a)^2 で割ったときの余りを求めよ。

(2) 実数を係数とする2次式 f(x)=x^2+αx+β で整式 $x^3$ を割ったときの余りが3x+bとする。bの値に応じて、このような f(x) が何個あるかを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1）余りは $3a^2x-2a^3$ 。（2）異なる実数係数二次式 f の個数は、 $-2<b<2$ なら3個、 $b=±2$ なら2個、 $|b|>2$ なら1個。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\text{(1) }t=x-a\text{ とおくと }x^3=(t+a)^3=t^3+3at^2+3a^2t+a^3.\text{ }t^2\text{ で割った余りは }3a^2t+a^3=3a^2x-2a^3.\\[4pt]\text{(2) }x^3=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\beta)+(\alpha^2-\beta)x+\alpha\beta.\text{ よって }\alpha^2-\beta=3,\ \alpha\beta=b\text{ であり、}\beta=\alpha^2-3\text{ を代入すると }g(\alpha)=\alpha^3-3\alpha=b.\\g'(\alpha)=3(\alpha^2-1)\text{ だから、}g\text{ は }\alpha<-1\text{ または }\alpha>1\text{ の範囲で増加し、}-1<\alpha<1\text{ の範囲で減少する。}\ g(-1)=2,\ g(1)=-2.\\-2<b<2\text{ なら交点は3個、}b=2\text{ では }(\alpha+1)^2(\alpha-2)=0\text{ より異なる解は2個、}b=-2\text{ では }(\alpha-1)^2(\alpha+2)=0\text{ より異なる解は2個、}\ |b|>2\text{ なら交点は1個。}\alpha\text{ ごとに }\beta\text{ は一意に定まる。}$

この問題で使う考え方

多項式の除法
多項式の導関数
導関数と増減
極大・極小

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