3名古屋大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$4\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=0$ を $\alpha^2$ で割ると $$\displaystyle \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2-2\frac{\beta}{\alpha}+4=0,$$ したがって $$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=1\pm i\sqrt3.$$ 条件 $0\leq\arg(\beta/\alpha)\leq\pi$ より $$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3}.$$

六角形の一辺を $u=A$、$\omega=e^{i\pi/3}$ とおく。頂点が反時計回りに並ぶので、辺の向きは順に60度ずつ回転し、 $$O=0,\quad A=u,\quad B=(1+\omega)u,\quad C=(1+\omega+\omega^2)u=(1+i\sqrt3)u, \quad D=i\sqrt3u,\quad E=\omega^2u.$$ 各頂点の原点からの距離はそれぞれ $0,|u|,\sqrt3|u|,2|u|,\sqrt3|u|,|u|$ である。比の絶対値が2なので、$\beta=C$、また $\alpha=A$ または $E$ である。$\alpha=A$ なら $C/A=1+i\sqrt3$ で条件を満たす。一方、$\alpha=E$ なら $$\displaystyle \frac{C}{E}=2e^{-i\pi/3}=1-i\sqrt3$$ となり偏角の条件に反する。よって $$\displaystyle \boxed{\frac{\beta}{\alpha}=1+i\sqrt3,\qquad \alpha=A,\quad\beta=C.}$$

(2)では $\kappa=1+i\sqrt3$ とおくと $\alpha=u,\ \beta=\kappa u$。$\gamma$ は $\alpha,\beta$ と異なる非零頂点なので、$\gamma=cu$ の係数 $c$ は $$\displaystyle c_B=1+\omega=\frac{3+i\sqrt3}{2},\qquad c_D=i\sqrt3,qquad c_E=\omega^2=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$$ のいずれかである。二つ目の条件式に $\alpha=u,\beta=\kappa u,\gamma=cu$ を代入し、$u\ne0$ で割ると $$\bigl(2c^2-(3+\kappa)c+(1+\kappa)\bigr)u+(1+\kappa-2c)=0.$$ 各候補について係数を計算すると次の通りである。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c} \gamma\text{ の頂点}&c&2c^2-(3+\kappa)c+(1+\kappa)&1+\kappa-2c\\ \hline B&\dfrac{3+i\sqrt3}{2}&\dfrac{\kappa}{2}&-1\\[1mm] D&i\sqrt3&-1-3i\sqrt3&2-i\sqrt3\\[1mm] E&\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}&\dfrac{9-3i\sqrt3}{2}&3 \end{array}$$ いずれも $u$ がただ1つに定まり、順に $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c} \gamma\text{ の頂点}&\alpha=u&\beta=\kappa u&\gamma=cu\\ \hline B&\dfrac{1-i\sqrt3}{2}&2&\dfrac{3-i\sqrt3}{2}\\[1mm] D&-\dfrac{1+i\sqrt3}{4}&\dfrac{1-i\sqrt3}{2}&\dfrac{3-i\sqrt3}{4}\\[1mm] E&-\dfrac{3+i\sqrt3}{6}&-\dfrac{2i\sqrt3}{3}&\dfrac{3-i\sqrt3}{6} \end{array}$$ を得る。これらは全て非零で互いに異なり、各々指定の頂点である。したがって答えは $$\displaystyle \boxed{\begin{aligned} (\alpha,\beta,\gamma)&=\left(\frac{1-i\sqrt3}{2},\ 2,\ \frac{3-i\sqrt3}{2}\right),\\ &\left(-\frac{1+i\sqrt3}{4},\ \frac{1-i\sqrt3}{2},\ \frac{3-i\sqrt3}{4}\right),\\ &\left(-\frac{3+i\sqrt3}{6},\ -\frac{2i\sqrt3}{3},\ \frac{3-i\sqrt3}{6}\right). \end{aligned}}$$

各六角形の図示用に、実部を横軸、虚部を縦軸として、各行の頂点を $O,A,B,C,D,E$ の順にプロットし、隣り合う点を結ぶ。 $$\displaystyle \begin{array}{c|cccccc} (\alpha,\beta,\gamma)&O&A&B&C&D&E\\ \hline \gamma=B&0&\dfrac{1-i\sqrt3}{2}&\dfrac{3-i\sqrt3}{2}&2&\dfrac{3+i\sqrt3}{2}&\dfrac{1+i\sqrt3}{2}\\[2mm] \gamma=D&0&-\dfrac{1+i\sqrt3}{4}&-\dfrac{i\sqrt3}{2}&\dfrac{1-i\sqrt3}{2}&\dfrac{3-i\sqrt3}{4}&\dfrac12\\[2mm] \gamma=E&0&-\dfrac{3+i\sqrt3}{6}&-\dfrac{1+i\sqrt3}{2}&-\dfrac{2i\sqrt3}{3}&\dfrac{1-i\sqrt3}{2}&\dfrac{3-i\sqrt3}{6} \end{array}$$ この表はそれぞれの六角形の全頂点の複素座標を与えるので、順に結べば各図が定まる。