4徳島大学 2019年 数学 第4問解答・解説

1回ごとの出目は6通りで、出目6ならそれまでの位置によらず原点に移る。

(1) 2回投げた後に原点にいる場合を、最後の出目で分ける。最後が6なら最初の出目は何でもよく6通り、最後が5なら最初も5または6の2通り、最後が1〜4なら最初の移動を打ち消す出目が1通りずつ対応して4通りである。よって $$\displaystyle \frac{6+2+4}{6^2}=\frac13.$$

(2) 2回投げた後の原点の位置に至る列は12通りである。また、2回投げた後に原点から距離1の4点のいずれかにいる列は、各点につき「その方向へ移動して5」「5の後にその方向へ移動」「6の後にその方向へ移動」の3通り、合計12通りである。3回目の出目を最後として分けると、6なら最初の2回は何でもよく $6^2=36$ 通り、5なら2回後に原点にいる12通り、1〜4なら2回後に隣接点にいる12通りから戻る向きが各1通りである。従って $$\displaystyle \frac{36+12+12}{6^3}=\frac{60}{216}=\frac5{18}.$$

(3) 最初の3回の出目列で、位置が原点から距離1の点にあるものを数える。2回後に原点にいた12列から、3回目に1〜4のいずれかが出ると隣接点に移るので $12\cdot4=48$ 列。2回後に隣接点にいた12列からは、3回目が5のときだけ隣接点にとどまるので12列である。さらに2回後に距離2の点にいる列は12列であり、内訳は軸方向の4点に各1列、斜め方向の4点に各2列である。軸方向の点から隣接点に移る出目は各1通り、斜め方向の点からは各2通りだから、距離2から隣接点に移る列は $$4\cdot1+4\cdot2\cdot2=20$$ 列。したがって3回後に隣接点にいる列は $48+12+20=80$ 列となる。

4回目が6なら最初の3回の列すべて $6^3=216$ 通りが原点に戻る。4回目が5なら、3回後に原点にいる60列が戻る。4回目が1〜4なら、3回後に隣接点にいる80列について、原点へ戻る出目が各1通りある。よって $$\displaystyle \frac{216+60+80}{6^4}=\frac{356}{1296}=\frac{89}{324}.$$