I鳥取大学 2023年 数学 第I問解答・解説

(1) Aから赤1個・白1個を同時に選ぶ組合せは $6n$、2球の選び方全体は $\displaystyle \binom{n+6}{2}$。従って $$\displaystyle p_n=\frac{6n}{\binom{n+6}{2}}=\frac{12n}{(n+5)(n+6)}.$$ 差をとると $$\displaystyle p_{n+1}-p_n=\frac{12(5-n)}{(n+5)(n+6)(n+7)}.$$ よって $n=1,2,3,4$ で増加、$p_5=p_6$、その後減少する。最大値は $p_5=p_6=6/11$。 (2) Aから箱Bへ移す2球が赤赤・赤白・白白の場合、場合数はそれぞれ $\displaystyle \binom62,6n,\binom n2$。箱Bにはもともと4個の白球があるので、移動後にBから赤白1球ずつ引く確率はそれぞれ $$\displaystyle \frac{2\cdot4}{\binom62}=\frac8{15},\qquad \frac{1\cdot5}{\binom62}=\frac13,\qquad 0.$$ 全確率より $$\displaystyle q_n=\frac{\binom62\frac8{15}+6n\frac13}{\binom{n+6}{2}} =\frac{4(n+4)}{(n+5)(n+6)}.$$ 分母は正なので $$\displaystyle q_n<\frac13\text{すなわち} n^2-n-18>0.$$ $g(n)=n^2-n-18$ は自然数上で $g(n+1)-g(n)=2n>0$、かつ $g(4)=-6<0, g(5)=2>0$。従って条件を満たす最小値は $n=5$。