3福井大学 2010年 数学 第3問解答・解説

$s=\sin t,\ c=\cos t$ とおく。$0<t<\pi/2$ より $s,c>0$ である。辺 $AB$ のベクトルは $(2s,-2c)$ だから $$A=(0,2c),\qquad B=(2s,0).$$ $BC$ は $AB$ と垂直で長さ $1$、かつ図の向きから右上向きなので、そのベクトルは $(c,s)$ である。したがって $$C=(2s+c,s),\qquad D=(c,2c+s).$$ また $s+c>1$（$(s+c)^2=1+2sc>1$）なので $D_y=s+2c>1$ である。一方、$B_y=0$、$C_y=s<1$ である。

(1) 辺 $BC$ は全体が $y\leq1$ にあり、その長さは $1$ である。辺 $CD$ は $y=s$ から $y=s+2c>1$ まで上がり、傾きの鉛直成分は辺の長さ1あたり $c$ なので、$y\leq1$ の部分の長さは $(1-s)/c$ である。 辺 $AB$ の鉛直成分は長さ1あたり $c$ で、$A_y=2c$ から $B_y=0$ まで下がる。$2c\geq1$ のとき $y\leq1$ にある部分の長さは $1/c$、$2c\leq1$ のときは辺全体の長さ $2$ である。 辺 $DA$ の鉛直成分は長さ1あたり $s$ である。$2c<1$ のときに限り $A$ から $y=1$ までの部分が含まれ、その長さは $(1-2c)/s$ である。$2c\geq1$ では長さは $0$ である。以上より、境界 $2c=1$ も含めて $$\displaystyle f(t)=\begin{cases} 1+\dfrac{2-s}{c},&0<t\leq\dfrac\pi3,\\[6pt] 3+\dfrac{1-s}{c}+\dfrac{1-2c}{s},&\dfrac\pi3<t<\dfrac\pi2. \end{cases}$$

(2) $0<t\leq\pi/3$ では $f(t)=3$ は $s+2c=2$ と同値である。$s=2-2c$ を $s^2+c^2=1$ に代入すると $$5c^2-8c+3=(5c-3)(c-1)=0.$$ $t>0$ より $c\ne1$ なので $c=3/5$、したがって $s=4/5$ である。この値は $c\geq1/2$ を満たし、場合分けにも合う。 $\pi/3<t<\pi/2$ では $1-s>0$、$1-2c>0$、$c,s>0$ だから、第2式は $f(t)>3$ である。よって他の解はない。

(3) $0<t\leq\pi/3$ では $$\displaystyle f'(t)=\frac{2\sin t-1}{\cos^2t}.$$ したがって $0<t<\pi/6$ で $f'(t)<0$、$t=\pi/6$ で $f'(t)=0$、$\pi/6<t\leq\pi/3$ で $f'(t)>0$ となり、この区間の最小値は $$\displaystyle f\left(\frac\pi6\right)=1+\frac{2-1/2}{\sqrt3/2}=1+\sqrt3$$ である。$\pi/3<t<\pi/2$ では (1) の第2式から $f(t)>3$ であり、$1+\sqrt3<3$ だから全体の最小値も $1+\sqrt3$、そのとき $t=\pi/6$ である。