2金沢大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) 積を展開すると $$\displaystyle z=\left(\frac{\sqrt3u-v}{2}\right)+\left(\frac{u+\sqrt3v}{2}\right)i.$$ 従って実部は $\displaystyle \frac{\sqrt3u-v}{2}$、虚部は $\displaystyle \frac{u+\sqrt3v}{2}$。また $|\alpha|=1$ より $$|z|=|\alpha||w|=\sqrt{u^2+v^2}.$$

(2) 条件から $\operatorname{Im}z=(u+\sqrt3v)/2=1/2$。$R=\operatorname{Re}z$ とおけば $\displaystyle z=R+\frac12i$ であり $$\displaystyle z^2=\left(R^2-\frac14\right)+Ri.$$ 従って $\displaystyle s=R^2-\frac14,\ t=R$ となり、$\displaystyle t^2=s+\frac14$。

(3) $w^2=(u^2-v^2)+2uvi$ だから $a=u^2-v^2,\ b=2uv$。条件 $u+\sqrt3v=1$ を二乗すると $1=u^2+3v^2+2\sqrt3uv$。よって $$a-\sqrt3b+1=u^2-v^2-2\sqrt3uv+1=2(u^2+v^2).$$ 直線 $x-\sqrt3y+1=0$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|a-\sqrt3b+1|}{\sqrt{1+3}}=u^2+v^2.$$ 一方、原点までの距離は $$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(u^2-v^2)^2+4u^2v^2}=u^2+v^2.$$ したがって2つの距離は等しい。

(1) $\displaystyle \operatorname{Re} z=\frac{\sqrt3u-v}{2}$、$\displaystyle \operatorname{Im} z=\frac{u+\sqrt3v}{2}$、$|z|=\sqrt{u^2+v^2}$。 (2) 条件から$\displaystyle z=R+\frac12i$と書ける。$\displaystyle z^2=(R^2-\frac14)+Ri$なので$\displaystyle s=R^2-\frac14,\quad t=R$、よって$\displaystyle t^2=s+\frac14$。 (3) $a=u^2-v^2$,$b=2uv$。$u+\sqrt3v=1$より $a-\sqrt3b+1=2(u^2+v^2)$。点から直線までの距離も原点までの距離も$u^2+v^2$。