1秋田大学 2013年 数学 第1問解答・解説

$f_1(x)=|x-1|$、$f_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)|$ ($x\ge0$) とする。

(i) $f_2,f_3$ のグラフ

絶対値の中身の符号が変わる点で場合分けすると $$f_2(x)=|\,|x-1|-2\,|=\begin{cases} x+1 &(0\le x\le1),\\ 3-x &(1\le x\le3),\\ x-3 &(x\ge3), \end{cases}$$ となる。さらに $f_3=|f_2-3|$ より $$f_3(x)=\begin{cases} 2-x &(0\le x\le1),\\ x &(1\le x\le3),\\ 6-x &(3\le x\le6),\\ x-6 &(x\ge6). \end{cases}$$ 折れ点はそれぞれ $f_2:(0,1),(1,2),(3,0)$、$f_3:(0,2),(1,1),(3,3),(6,0)$。これらを直線で結び、最後は右上がりの半直線とする。

(ii) $a_n=f_n(0)$ の一般項

$a_1=1$、また再帰式から $a_{n+1}=|a_n-(n+1)|$。帰納法で $a_n=\lceil n/2\rceil$ と仮定する。$n=2k-1$ なら $a_n=k$ なので $a_{n+1}=|k-2k|=k=\lceil(n+1)/2\rceil$。$n=2k$ なら $a_n=k$ なので $a_{n+1}=|k-(2k+1)|=k+1=\lceil(n+1)/2\rceil$。初項と合わせて $$\displaystyle a_n=\left\lceil\frac n2\right\rceil.$$

(iii) 根からの逆向きの値

$f_n(\alpha)=0$ とし、$\displaystyle R_i=in-\dfrac{i(i-1)}2$ とおく。$i=1$ では $$f_{n-1}(\alpha)=n=R_1.$$ $1\le i\le n-2$ で $f_{n-i}(\alpha)=R_i$ と仮定する。再帰式より $$R_i=\left|f_{n-i-1}(\alpha)-(n-i)\right|.$$ また $$\displaystyle R_i-(n-i)=(i-1)\left(n-\frac i2\right)+i>0.$$ 従って絶対値を外したときの負側候補 $(n-i)-R_i$ は負であり、$f_{n-i-1}(\alpha)\ge0$ に反する。よって $$\displaystyle f_{n-i-1}(\alpha)=R_i+(n-i) =(i+1)n-\frac{i(i+1)}2=R_{i+1}.$$ 帰納法により、$1\le i\le n-1$ について $$\displaystyle f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}2.$$

(iv) $f_n(\alpha)=0$ となる $\alpha$

$n\ge2$ として (iii) に $i=n-1$ を代入すると $$\displaystyle f_1(\alpha)=\frac{(n-1)(n+2)}2=\frac{n(n+1)}2-1.$$ $f_1(\alpha)=|\alpha-1|$ なので、候補は $\displaystyle \alpha=\dfrac{n(n+1)}2$ または $\displaystyle 2-\dfrac{n(n+1)}2$。後者は $n\ge2$ で負のため、定義域 $\alpha\ge0$ では前者だけである。$n=1$ のときも $f_1(\alpha)=0$ から $\alpha=1$ で同じ式を得る。

存在も確かめる。$\displaystyle T_k=\dfrac{k(k+1)}2$ とおくと、$1\le k\le n$ について帰納法で $$f_k(T_n)=T_n-T_k.$$ 初項では $f_1(T_n)=|T_n-1|=T_n-T_1$。$k<n$ で成立するとき $T_{k+1}\le T_n$ より $$f_{k+1}(T_n)=|T_n-T_k-(k+1)|=|T_n-T_{k+1}|=T_n-T_{k+1}.$$ ゆえに $f_n(T_n)=0$ であり、求める唯一の値は $$\displaystyle \boxed{\alpha=\frac{n(n+1)}2}.$$

絶対値の折れ点で場合分けすると$f_2$ は折れ点 $(0,1),(1,2),(3,0)$、$f_3$ は $(0,2),(1,1),(3,3),(6,0)$ を結ぶ折れ線となり、実際のグラフを添付した。$a_1=1,\ a_{n+1}=|a_n-(n+1)|$から、nの奇偶ごとの帰納法で$\displaystyle a_n=\left\lceil\frac n2\right\rceil$。根fₙ(α)=0から逆に再帰式をたどり、$\displaystyle f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}2$を示す。i=n−1で$\displaystyle |\alpha-1|=\frac{n(n+1)}2-1$となるので、非負条件から$\displaystyle \alpha=\frac{n(n+1)}2$。最後にこの値を再帰式へ入れfₙ(α)=0となることも確認した。