3東海大学 2023年 1日目 数学 第3問解答・解説

・ $a_1=41/32>1$ なので $$\displaystyle a_2=4\left(\frac{41}{32}-1\right)=\frac98,\qquad a_3=4\left(\frac98-1\right)=\frac12,$$ $$\displaystyle a_4=4\left|\frac12-1\right|=2.$$

・ $a_1=47/64<1$ なので $$\displaystyle a_2=4\left(1-\frac{47}{64}\right)=\frac{17}{16},\qquad a_3=4\left(\frac{17}{16}-1\right)=\frac14,$$ $$\displaystyle a_4=4\left|\frac14-1\right|=3.$$

・ 数列がすべての $n$ で $a_n=a$ となるには、またそのためには $a=4|a-1|$ であればよい。$a\geq1$ のとき $a=4(a-1)$ より $a=4/3$、$a<1$ のとき $a=4(1-a)$ より $a=4/5$。どちらもそれぞれの条件を満たし、$4/5<4/3$ である。

・ $a>4/3$ なら $a_1>4/3$ であり、$x>4/3$ に対して $4(x-1)>4/3$ だから、すべての項で絶対値の中身は正となる。固定値 $4/3$ を引くと $$\displaystyle a_{n+1}-\frac43=4\left(a_n-\frac43\right).$$ したがって $\{a_n-4/3\}$ は初項 $a-4/3$、公比4の等比数列であり $$\displaystyle a_n=4^{n-1}\left(a-\frac43\right)+\frac43.$$

・ $a_2=4/5$ であれば、その後は固定点 $4/5$ が続く。逆にこの条件は問題の条件から必要である。方程式 $$\displaystyle 4|a_1-1|=\frac45$$ を解くと $a_1=4/5$ または $6/5$。$a_1\ne4/5$ より $a=6/5$。

・ $a_3=4/5$ であり、$a_2\ne4/5$ だから、$4|a_2-1|=4/5$ のもう一つの解から $a_2=6/5$。そこで $4|a_1-1|=6/5$ を解くと $$\displaystyle |a_1-1|=\frac3{10},\qquad a_1=\frac7{10}\ \text{または}\ \frac{13}{10}.$$ いずれも $a_1\ne4/5$ を満たし、$a_2=6/5$、$a_3=4/5$ となった後は $4/5$ が続く。よって小さい順に $7/10,13/10$。