4聖マリアンナ医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $2020=7\cdot288+4$、$-100=7\cdot(-15)+5$ より、$\overline{2020}=4,\ \overline{-100}=5$。

(2)　 各欄は積を7で割った余りである。空欄を含む表は $$\begin{array}{c|rrrrrr} a\backslash b&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&1&2&3&4&5&6\\ 2&2&4&6&1&3&5\\ 3&3&6&2&5&1&4\\ 4&4&1&5&2&6&3\\ 5&5&3&1&6&4&2\\ 6&6&5&4&3&2&1 \end{array}$$ である。特に $(a)=\overline{4\cdot4}=2$、$(b)=\overline{5\cdot5}=4$、$(c)=\overline{5\cdot6}=2$ だから、組は $(2,4,2)$、選択肢⑦。

(3)　 整数 $b$ を $p$ で割った商を $q$、余りを $r=\overline b$ とすると、$b=qp+r$。よって $$ab=aqp+ar.$$ $ab$ と $ar=a\overline b$ の差は $aqp$ であり、$p$ の倍数である。したがって両者を $p$ で割った余りは同じで、$\overline{ab}=\overline{a\overline b}$。

(4)　 $\overline a\ne0$ だから $p$ は $a$ を割らず、$p$ は素数なので $\gcd(a,p)=1$。ユークリッドの互除法により、ある整数 $b,c$ が存在して $ab+pc=1$ と書ける。従って $ab-1=-pc$ は $p$ の倍数であり、$\overline{ab}=1$。

(5)　 $7\nmid a$ とする。$\overline a,\overline{2a},\ldots,\overline{6a}$ はいずれも0でない。もし $1\le i<j\le6$ で $\overline{ia}=\overline{ja}$ なら、$7\mid a(i-j)$ となる。7は素数で7は $a$ を割らないから $7\mid(i-j)$ となるが、$1\le j-i\le5$ に反する。従ってこれら6個の余りは互いに異なり、$1,2,3,4,5,6$ を並べ替えたものに一致する。積を取ると $$\overline{a^6\cdot6!}=\overline{6!}.$$ ここで $\overline{6!}=\overline{720}=6\ne0$ であり、(4)よりこの余りは逆数をもつ。両辺を $\overline{6!}$ で割れるので $\overline{a^6}=1$、すなわち $a^6-1$ は7の倍数である。

検算として、$\overline{6!}=6$ であり $6\cdot6=36\equiv1\pmod7$ だから、最後の約分は具体的にも正当である。