2信州大学 2018年 数学 第2問解答・解説

を作る4回の出目を順に(a_1,a_2,a_3,a_4)とする。各a_iは1から6までをとり、全体の数は6^4=1296通りである。

(1) 2の倍数である条件は一の位a_4が2,4,6のいずれかとなることである。したがって該当する出目列は6^3$\cdot$3=648通りで、確率は648/1296=1/2。

(2) 3の倍数である条件は各位の和が3の倍数となることである。最初の3個の出目を固定すると、a_4に必要な3での剰余はただ1つに定まる。1から6には各剰余類の数が2個ずつあるので、そのa_4は2通り。よって該当数は6^3$\cdot$2=432通り、確率は432/1296=1/3。

(3) 45=5$\cdot$9かつ5と9は互いに素なので、45の倍数であることは5と9の両方の倍数であることと同値である。出目に0はないため、5の倍数となるにはa_4=5でなければならない。9の倍数条件はa_1+a_2+a_3+5が9の倍数となること。ここで3$\le$ a_1+a_2+a_3$\le$18より、和a_1+a_2+a_3+5は8から23の範囲にあり、その可能性は9または18である。したがってa_1+a_2+a_3=4または13。

和が4の正整数の順序付き三つ組は(1,1,2)の並べ替えの3通り。和が13の場合、a_1,a_2を選ぶとa_3=13-a_1-a_2が1から6となる必要十分条件は7$\le$ a_1+a_2$\le$12である。和が7,8,9,10,11,12となる順序付き(a_1,a_2)はそれぞれ6,5,4,3,2,1通り、合計21通り。よって該当する出目列は3+21=24通りであり、確率は24/1296=1/54。