III福岡大学 2007年 数学 第III問解答・解説

(i) $\displaystyle C=\int_0^{\pi/2}f(t)\,dt$ とおく。また $\displaystyle \int_0^x\sin t\,dt=1-\cos x$ だから、与式は $$\displaystyle f(x)+2(1-\cos x)=2+\frac{8C}{\pi^2+16}x$$ となり、 $$\displaystyle f(x)=2\cos x+\frac{8C}{\pi^2+16}x.$$ 両辺を $0$ から $\pi/2$ まで積分すると $$\displaystyle C=2+\frac{8C}{\pi^2+16}\cdot\frac{\pi^2}{8} =2+\frac{\pi^2C}{\pi^2+16}.$$ よって $C=(\pi^2+16)/8$ であり、$8C/(\pi^2+16)=1$ だから $$f(x)=x+2\cos x.$$

(ii) $f'(x)=1-2\sin x$ である。$-\pi\le x\le\pi$ の範囲の臨界点は $x=\pi/6,5\pi/6$。したがって $f$ は $-\pi\le x\le\pi/6$ で増加、$\pi/6\le x\le5\pi/6$ で減少、$5\pi/6\le x\le\pi$ で増加する。各極値と右端点の値は $$\displaystyle f\left(\frac\pi6\right)=\frac\pi6+\sqrt3,\quad f\left(\frac{5\pi}6\right)=\frac{5\pi}6-\sqrt3,\quad f(\pi)=\pi-2.$$ また $f(-\pi)=-\pi-2$ で、 $$\displaystyle -\pi-2<\frac{5\pi}6-\sqrt3<\pi-2<\frac\pi6+\sqrt3.$$ 水平線 $y=k$ が増加・減少・増加の3区間それぞれと1点で交わるためには、局所最小値より大きく、右端点の値以下であることが必要十分である。$k=5\pi/6-\sqrt3$ では極小点を共有して解が2個となるが、$k=\pi-2$ では $x=\pi$ の端点を含めて3個となる。従って $$\displaystyle \frac{5\pi}6-\sqrt3<k\le\pi-2.$$