4香川大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $(0,0)$ から $(2,4)$ に向かう傾き2の線分（終点を除く）と、$(2,0)$ から $(4,4)$ までの傾き2の閉線分を描く。 (2) $g(x)=f(f(x))$ は $$g(x)=4x-4k\quad(k\le x<k+1,\ k=0,1,2),\qquad g(x)=4x-12\quad(3\le x\le4).$$ 各 $(k,0)$ から $(k+1,4)$ に向かう傾き4の線分を描く。始点は全て含み、終点は最後の $(4,4)$ だけ含む。 (3) 結論は $\boxed{0\le b\le2}$。以下の一般条件に $a=1/2$ を代入しても得られる。 (4) $a=4$ の場合は各線分と平行または一致し、交点数は0または無限で4にならない。$a>4$ の場合、第0線分に交わるには $b>4-a$、第3線分に交わるには $b\le-3a$ が必要で、両立しない。 $a<4$ のとき、第 $k$ 線分との交点は $x=(b+4k)/(4-a)$。交点は各線分に高々1個なので、相異なる4交点をもつには全4線分に1個ずつ必要十分である。端点の開閉に注意すると条件は $$-ak\le b<4-a(k+1)\ (k=0,1,2),\qquad -3a\le b\le4-4a.$$ $a\le0$ ではこれらの共通範囲は $-3a\le b<4-a$ で、その範囲が空でないためには $a>-2$。 $a>0$ では $0\le b\le4-4a$ で、$a\le1$ が必要十分。 よって求める条件は $$\boxed{\begin{cases}-2<a\le0,\quad-3a\le b<4-a,\quad\text{または}\\0<a\le1,\quad0\le b\le4-4a.\end{cases}}$$ $ab$ 平面では頂点 $(-2,6),(0,0),(1,0),(0,4)$ の四角形の内部を塗る。辺 $(-2,6)$--$(0,4)$ は除き、残りの辺は含む。ただし頂点 $(-2,6),(0,4)$ は除く。 特に $a=0,b=4$ では交点が $(4,4)$ の1点だけなので、上端の除外が必要である。