4琉球大学 2015年 数学 第4問解答・解説

問1では、$\displaystyle u=t+\dfrac1t$、$\displaystyle v=t-\dfrac1t$ とおくと、$\displaystyle x=u+\dfrac52$、$y=2v$ である。また、$$\displaystyle u^2-v^2=\left(t+\dfrac1t\right)^2-\left(t-\dfrac1t\right)^2=4$$より、$$\displaystyle 4\left(x-\dfrac52\right)^2-y^2=16,$$すなわち$$(2x-5)^2-y^2=16$$を得る。 逆に、この式を満たす実数$x,y$について$\displaystyle u=x-\dfrac52$、$\displaystyle v=\dfrac y2$ とおけば、$u^2-v^2=4$ である。$\displaystyle t=\dfrac{u+v}{2}$ とおくと、$\displaystyle t\cdot\dfrac{u-v}{2}=1$ だから$t\ne0$、かつ$\displaystyle \dfrac1t=\dfrac{u-v}{2}$ である。したがって$\displaystyle t+\dfrac1t=u$、$\displaystyle t-\dfrac1t=v$ となり、もとの媒介変数表示で表される。よって、求める関係式は$(2x-5)^2-y^2=16$ である。

問2では、この関係式に$y=ax+5$ を代入すると、$$\begin{aligned}(2x-5)^2-(ax+5)^2&=16,\\(4-a^2)x^2-10(a+2)x-16&=0.\end{aligned}$$この方程式の実数解$x$の個数が共有点の個数に等しい。$a=2$ のときは$-40x-16=0$ となり、共有点は1個である。$a=-2$ のときは$-16=0$ となるので、共有点はない。 $a\ne\pm2$ のとき、この方程式は二次方程式であり、その判別式は$$\begin{aligned}D&=\{ -10(a+2)\}^2-4(4-a^2)(-16)\\&=4(a+2)(9a+82).\end{aligned}$$したがって、$D>0$ となる$\displaystyle a<-\dfrac{82}{9}$、または$a>-2$（ただし$a=2$を除く）では共有点は2個、$D=0$ となる$\displaystyle a=-\dfrac{82}{9}$ では共有点は1個、$D<0$ となる$\displaystyle -\dfrac{82}{9}<a<-2$ では共有点はない。以上に$a=2,-2$ の場合を合わせると、$$\displaystyle \begin{cases}2\text{個} & a<-\dfrac{82}{9},\ -2<a<2,\ \text{または }a>2,\\1\text{個} & a=-\dfrac{82}{9}\text{ または }a=2,\\0\text{個} & -\dfrac{82}{9}<a\le -2.\end{cases}$$