1琉球大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) 積分を直接計算すると $$\displaystyle F(x)=\int_x^{2x}e^t\,dt=e^{2x}-e^x$$ だから $$F(1)=e^2-e,\qquad F'(x)=2e^{2x}-e^x.$$

(2) まず $g$ が連続であるという通常の微積分の条件の下で解く。第1式を微分して $$f'(x)+g(x)=2\cos x$$ を得る。これと $f'(x)g(x)=\cos^2x$ から $$\{f'(x)-g(x)\}^2 =\{f'(x)+g(x)\}^2-4f'(x)g(x) =4\cos^2x-4\cos^2x=0.$$ 従って $f'(x)=g(x)=\cos x$ である。よって $f(x)=\sin x+C$ であり、第1式に $x=0$ を代入すると $f(0)=-3$ だから $C=-3$。連続な解は $$f(x)=\sin x-3,\qquad g(x)=\cos x$$ である。

ただし、問題文には $g$ の連続性が明記されていない。文字どおり積分可能性だけを課すなら、例えば $$\widetilde g(x)= \begin{cases} 1 &(x=\pi/2),\\ \cos x &(x\ne\pi/2) \end{cases} ,\qquad \widetilde f(x)=\sin x-3$$ も条件を満たす。1点での変更は積分値を変えず、$x=\pi/2$ では $\widetilde f'(x)=\cos x=0$ なので積の条件も満たす。このため、連続性などを仮定しないと $g$ は一意に定まらない。