5新潟大学 2014年 数学 第5問解答・解説

・ $\displaystyle I=\allowbreak{}\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,\allowbreak{}dx$ とおくと、定義より $\displaystyle I-a_n=\allowbreak{}-\int_0^1\frac{(-x^2)^{n+1}}{1+x^2}\,\allowbreak{}dx$ である。$0\le x\le1$ では $1/(1+x^2)\le1$ だから、$\displaystyle |I-a_n|\le\int_0^1x^{2n+2}\,\allowbreak{}dx=\allowbreak{}\frac1{2n+3}$。

・ $\displaystyle\frac{x^2}{1+x^2}=\allowbreak{}1-\frac1{1+x^2}$ より、$\displaystyle I=\allowbreak{}1-\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}$。ここで $x=\allowbreak{}\tan t$ と置くと $0\le t\le\pi/4$、$dx=\allowbreak{}(1+\tan^2t)dt$ なので $\displaystyle I=\allowbreak{}1-\int_0^{\pi/4}dt=\allowbreak{}1-\frac\pi4$。

・ 有限和を展開して隣り合う項を消去すると、$\displaystyle (1+x^2)\sum\limits _{k=\allowbreak{}1}^n(-1)^{k+1}x^{2k}=\allowbreak{}x^2+(-1)^{n+1}x^{2n+2}=\allowbreak{}x^2+(-x^2)^{n+1}$。したがって、$\displaystyle\frac{x^2+(-x^2)^{n+1}}{1+x^2}=\allowbreak{}\sum\limits _{k=\allowbreak{}1}^n(-1)^{k+1}x^{2k}$。両辺を $0$ から $1$ まで積分すれば、$\displaystyle a_n=\allowbreak{}\sum\limits _{k=\allowbreak{}1}^n(-1)^{k+1}\left[\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right]_0^1=\allowbreak{}\sum\limits _{k=\allowbreak{}1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$ を得る。

・ (1)より $a_n\to I$ であり、(3)より $a_n$ は求める有限和に等しい。よってその極限は $\displaystyle I=\allowbreak{}1-\frac\pi4$ である。