4日本大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2}$ なので、 $\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-\frac1{1+x^2}\right)dx =\left[x-\tan^{-1}x\right]_0^1=1-\frac{\pi}{4}$ である。 また $\displaystyle 0\leq\frac{x^{2n}}{1+x^2}\leq x^{2n}$ ($0\leq x\leq1$) より $\displaystyle 0\leq I_n\leq\int_0^1x^{2n}\,dx=\frac1{2n+1}$ である。右端は $n\to\infty$ で0に近づくから、はさみうちにより $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=0$ となる。

(2) 積分の差をまとめると $$\displaystyle I_n-I_{n+2} =\int_0^1\frac{x^{2n}-x^{2n+4}}{1+x^2}\,dx =\int_0^1x^{2n}(1-x^2)\,dx =\frac1{2n+1}-\frac1{2n+3} =\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}.$$ ここで $n$ を $2k-1$ とすると $\displaystyle \frac{2}{(4k-1)(4k+1)}=I_{2k-1}-I_{2k+1}$ である。従って第 $N$ 項までの和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{N}\frac{2}{(4k-1)(4k+1)} =(I_1-I_3)+(I_3-I_5)+\cdots+(I_{2N-1}-I_{2N+1}) =I_1-I_{2N+1}.$$ (1)より $I_{2N+1}\to0$ だから、無限級数の和は $\displaystyle I_1=1-\frac{\pi}{4}$ である。