3日本大学 2014年 数学 第3問解答・解説

$\mathbf b=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf d=\overrightarrow{AD}$、$\mathbf e=\overrightarrow{AE}$ とする。条件より $|\mathbf b|=2,\ |\mathbf d|=3,\ |\mathbf e|=1,\ \mathbf b\cdot\mathbf d=|\mathbf b||\mathbf d|\cos60^\circ=3$ であり、$\mathbf e$ は $\mathbf b,\mathbf d$ の両方に垂直である。平行六面体の頂点をこれらのベクトルで表すと、$\overrightarrow{AB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{AD}=\mathbf d,\ \overrightarrow{AE}=\mathbf e,\ \overrightarrow{AF}=\mathbf b+\mathbf e,\ \overrightarrow{AG}=\mathbf b+\mathbf d+\mathbf e$ である。$FJ:JG=1:2$ だから $\displaystyle \overrightarrow{AJ}=\mathbf b+\frac13\mathbf d+\mathbf e$ となる。

(1) $\overrightarrow{EB}=\mathbf b-\mathbf e$、$\displaystyle \overrightarrow{EJ}=\mathbf b+\frac13\mathbf d$ である。直交条件と内積から $|\overrightarrow{EB}|^2=5,\ |\overrightarrow{EJ}|^2=4+2+\!1=7,\ \overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EJ}=4+1=5$ を得る。2辺のなす角を $\theta$ とすると、三角形の面積 $S$ は $\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{EB}||\overrightarrow{EJ}|\sin\theta$ であり、$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EJ}}{|\overrightarrow{EB}||\overrightarrow{EJ}|}$ であるから $\displaystyle S^2=\frac14\{|\overrightarrow{EB}|^2|\overrightarrow{EJ}|^2-(\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EJ})^2\}=\frac14(5\cdot7-25)=\frac52$。 よって面積は $\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}$ である。

(2) 線分 $FD$ 上の点 $K$ を $F$ から $D$ へ $t$ だけ進んだ点とすると $\overrightarrow{AK}=(1-t)\mathbf b+t\mathbf d+(1-t)\mathbf e$ である。一方、平面 $EBJ$ 上の点は $E+s\overrightarrow{EB}+u\overrightarrow{EJ}$ と表せ、その位置ベクトルは $\displaystyle (s+u)\mathbf b+\frac{u}{3}\mathbf d+(1-s)\mathbf e$ となる。両者の係数を比べると $s=t,\ u=3t,\ s+u=1-t$ なので $\displaystyle t=\frac15,\ s=\frac15,\ u=\frac35$ を得る。従って $\displaystyle \overrightarrow{EK}=\frac15\overrightarrow{EB}+\frac35\overrightarrow{EJ}$ である。このとき $\displaystyle \overrightarrow{AK}=\frac45\mathbf b+\frac15\mathbf d+\frac45\mathbf e$ であり、$\displaystyle t=\frac15$ は線分 $FD$ 上にあることとも一致する。

(3) 線分 $BJ$ 上の点を $L=B+v(J-B)$ と表すと、$\overrightarrow{EL}=(1-v)\overrightarrow{EB}+v\overrightarrow{EJ}$ である。また $E,K,L$ は一直線上だから、ある $\lambda$ に対し $\displaystyle \overrightarrow{EL}=\lambda\overrightarrow{EK}=\frac{\lambda}{5}\overrightarrow{EB}+\frac{3\lambda}{5}\overrightarrow{EJ}$ である。係数比較より $\displaystyle 1-v=\frac{\lambda}{5},\ v=\frac{3\lambda}{5}$、従って $\displaystyle \lambda=\frac54,\ v=\frac34$ であり、$\displaystyle \overrightarrow{AL}=\mathbf b+\frac14\mathbf d+\frac34\mathbf e$ となる。

四面体 $KFBL$ の底面を三角形 $BFL$ とする。$\overrightarrow{BF}=\mathbf e$ は長さ1であり、$\displaystyle \overrightarrow{BL}=\frac14\mathbf d+\frac34\mathbf e$ なので、$L$ から直線 $BF$ までの距離は $\displaystyle \frac14|\mathbf d|=\frac34$ である。よって底面積は $\displaystyle \frac12\cdot1\cdot\frac34=\frac38$ である。平面 $BFL$ は $\mathbf e$ と $\mathbf d$ の方向を含む。一方、 $\displaystyle \overrightarrow{BK}=-\frac15\mathbf b+\frac15\mathbf d+\frac45\mathbf e$ であるから、$K$ から平面 $BFL$ までの距離は、$\mathbf b$ の $\mathbf d$ に垂直な成分の $\displaystyle \frac15$ に等しい。これは $\displaystyle \frac15|\mathbf b|\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{5}$ である。したがって体積は $\displaystyle \frac13\cdot\frac38\cdot\frac{\sqrt3}{5}=\frac{\sqrt3}{40}$ となる。