4新潟大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1) 積と合成関数の微分法を用いると $$\begin{aligned} f'(x) &=-8xe^{-x^2}+(-4x^2+2)(-2x)e^{-x^2}\\ &=4x(2x^2-3)e^{-x^2}. \end{aligned}$$ $e^{-x^2}>0$ なので、臨界点は $x=-r,0,r\quad(r=\sqrt{3/2})$ である。導関数の符号は順に $-,+,-,+$ と変わる。従って $x=0$ で極大、$x=\pm r$ で極小となり、 $$f(0)=2,\qquad f(\pm r)=(-4r^2+2)e^{-r^2}=-4e^{-3/2}.$$ よって極大値は $2$、極小値は $-4e^{-3/2}$ である。

(2) $\displaystyle \frac{d}{dx}(xe^{-x^2})=(1-2x^2)e^{-x^2}$ より $$\displaystyle x^2e^{-x^2} =\frac12e^{-x^2}-\frac12\frac{d}{dx}(xe^{-x^2}).$$ これを $0$ から $a$ まで積分すると $$\displaystyle \int_0^a x^2e^{-x^2}\,dx =\frac12 I(a)-\frac12[xe^{-x^2}]_0^a =\frac12\{I(a)-ae^{-a^2}\}.$$

(3) $0\le x\le5$ では $f(x)=0$ となるのは $\displaystyle b=\frac1{\sqrt2}$ のときであり、$0\le x<b$ で $f(x)>0$、$b<x\le5$ で $f(x)<0$ である。$\displaystyle J(t)=\int_0^t f(x)\,dx$ とおく。(2)を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} J(t) &=2I(t)-4\int_0^t x^2e^{-x^2}\,dx\\ &=2I(t)-4\cdot\frac12\{I(t)-te^{-t^2}\}\\ &=2te^{-t^2}. \end{aligned}$$ 従って求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^b f(x)\,dx-\int_b^5 f(x)\,dx &=2J(b)-J(5)\\ &=4be^{-b^2}-10e^{-25}\\ &=2\sqrt2\,e^{-1/2}-10e^{-25}. \end{aligned}$$

(1) 積と合成関数の微分法で微分し、導関数の符号を調べる。(2) $xe^{-x^2}$ の導関数を用いて被積分関数を書き直す。(3) 零点で積分を分け、$0$ からの定積分 $J$ を使って面積を求める。